（五十）奇数和偶数（上）《奥赛天天练》第三十八、三十九讲《奇数和偶数》，学习运用奇数、偶数的性质解答一些稍复杂的判断计算结果奇偶性的问题（第38讲），及日常生活中的一些趣题，如翻牌问题、参观路线问题、握手问题、开灯问题等（第39讲）。

有关奇数、偶数性质，及较简单的奇偶数问题，请查阅：三年级奥数解析（四十三）奇与偶四年级奥数解析（四十二）奇、偶分析《奥赛天天练》第38讲，模仿训练，练习1【题目】：1＋2＋3＋…＋1999＋2000＋2001的和是奇数还是偶数？【解析】：判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数，主要看算式中奇数的个数，算式中有奇数个奇数结果为奇数，算式中有偶数个奇数，计算结果为偶数。

从1到2000这2000个连续自然数中，有（2000÷2﹦）1000个奇数，再加上2001是奇数，算式中共有1001个奇数，所以这道算式的计算结果为奇数。

《奥赛天天练》第38讲，模仿训练，练习2【题目】：41名同学参加智力竞赛，竞赛共20道题，评分方法是：基础分15分，答对一题加5分，不答加1分，答错1题倒扣1分。

请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数？【解析】：每名同学的得分可以用基础分依次加上每一道答对或不答题的得分，再依次减去每一道答错题的失分。

因为每一道题无论是答对、不答得分数，或答错失分数都是奇数，共20道题，20个（即偶数个）奇数相加减计算结果是偶数，再加上基础分15分是奇数，所以每名同学最后得分都是奇数。

全班41名同学得分总和，就是41（即奇数个）个奇数相加，一定是奇数。

《奥赛天天练》第38讲，巩固训练，习题1【题目】：有100个自然数，它们的和是偶数，在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多，问这些自然数中至多有多少个偶数？【解析】：100个自然数连加，和是自然数，则这100个自然数中必然有偶数个奇数。

又因为100个自然数中奇数的个数比偶数多，而任意一个自然数不是奇数，就是偶数，则奇数的个数一定超过（100÷2﹦）50个。

50＋2﹦52（个）综上所述，这100个自然数中至少有52个奇数。

所以这些自然数中至多有偶数：100－52﹦48（个）。

《奥赛天天练》第38讲，巩固训练，习题2【题目】：已知a，b，c中有一个是2001，一个是2002，另一个是2003，判断：（a－1）×（b－2）×（c－3）的结果是奇数还是偶数？【解析】：若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数。

根据题意，a可能是2001、2002或2003：假设a是2001，a－1﹦2001－1﹦2000，2000是偶数，则所求的结果是偶数；同理可得，a是2003时，所求结果也是偶数；假设a是2002，c只能是2001或2003，一定是奇数，（c－3）的差就是偶数，则所求结果一定是偶数。

综上所述，（a－1）×（b－2）×（c－3）的结果一定是偶数。

《奥赛天天练》第38讲，拓展提高，习题1【题目】：有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和都是奇数，并且每个数都是两个两位数的乘积（如144﹦12×12），把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？【解析】：所求自然数小于200，且能分解成两个两位数因数的乘积。

因为200﹤152，如果两个因数都大于或等于15，这个数就大于200了，所以这两个两位数因数，至少有一个因数小于15。

根据因数特征，按从大到小的顺序，尝试计算，寻找符合条件的此类自然数：13×15﹦19513×14﹦18212×15﹦180这一类自然数从大到小排列，第三个数是180。

《奥赛天天练》第38讲，拓展提高，习题2【题目】：能否在下面的“□”填入加号或减号，使等式成立？为什么？1□2□3□4□5□6□7□8□9﹦10【解析】：判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数，主要看算式中奇数的个数。

算式1□2□3□4□5□6□7□8□9中，共有5个奇数：1、3、5、7、9，所以这道算式，无论在“□”填入的是加号还是减号，计算结果一定是奇数，不可能是偶数10。

所以无论在“□”填入的是加号还是减号，这个等式都不能成立。

（五十一）奇数和偶数（下）《奥赛天天练》第39讲，模仿训练，练习1【题目】：一副扑克牌54，除去大、小王后还有52，则取同一花色的13牌正面朝上放好，按牌上的数的约数个数作为翻动次数（这里把J，Q，K看作11，12，13），问这些牌经过翻动后，都有那些牌背面朝上？【解析】：一、每牌正面朝上放好，翻动偶数次后仍然正面朝上，翻动奇数次后变化为背面朝上。

二，任意一个整数的约数都是成对出现的。

如果一个整数是完全平方数，即可以写成另一个整数的平方，则这个数有奇数个因数。

如果一个整数不是完全平方数，则这个数有偶数个因数。

三、1到13中，完全平方数有3个：1，4，9。

综上所述，1，4，9这三牌经过翻动后背面朝上。

《奥赛天天练》第39讲，模仿训练，练习2【题目】：某展览馆共有36个列室，相邻两室之间都有门通行，有人希望每个展览室都去一次，并且只去一次，你能替他设计参观路线吗？【解析】：如上图，把6×6的方格黑、白相间染色。

从图中可以看出，从黑格走出后，只能进入白格，从白格走出后只能进入黑格。

从入口黑格进入展览馆，参观路线只能是：黑﹥白﹥黑﹥白……走到黑格时共参观了奇数个列室，走到白格时共参观了偶数个列室。

要参观36个列室，最后到达的是白格列室，而出口在黑格列室。

所以无法设计出符合题目要求的参观路线。

《奥赛天天练》第39讲，巩固训练，习题1【题目】：由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？【解析】：把这些小正方形黑白相间染色，与任意黑格相邻的必是白格，而与白格相邻的必是白格，如下图，用1×2的长方形去覆盖，每次盖住两个相邻小正方形一个是黑格，一个是白格：7个长方形只能盖住7个黑格和7个白格，而上图中有6个白格、8个黑格，所以，7个1×2的长方形不能把原图形都盖住。

《奥赛天天练》第39讲，巩固训练，习题2【题目】：一次宴会上，客人们相互握手，问握手次数是奇数的那些人总数是奇数还是偶数？【解析】：两人握手，给每人各计数一次，共2次，则无论多少人相互握手，握手总次数为偶数。

把宴会上握手的人分为两类：第一类是握手次数为偶数的人，第二类是握手次数为奇数的人。

N个偶数相加的和仍为偶数，第一类人握手总次数为偶数，所有人握手总次数也是偶数，偶数减偶数还是偶数，所以第二类人握手总次数也是偶数。

第二类人，每人握手次数为奇数，奇数个奇数相加和为奇数，偶数个奇数相加和才为偶数。

第二类人握手总次数为偶数，所以第二类人总数也是偶数。

即宴会上握手次数是奇数的那些人总数是偶数。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题1【题目】：能否用3个“田”字形纸片（如下面左图）和13个“丁”字形纸片（如下面右图）完全盖住一个8×8的正方形棋盘？【解析】：如下图，把棋盘黑白相间染色，共有32个黑格、32个白格。

用“田”字形纸片覆盖，每纸片能盖住2个黑格、2个白格，用“丁”字形纸片覆盖，能盖住3个黑格、1个白格或3个白格、1个黑格：3个“田”字形纸片覆盖了6个黑格和6个白格，剩下26个黑格、26个白格共52格，黑格数和白格数都是偶数。

每个“丁”字形纸片覆盖的黑格数和白格数都是奇数（1格或3格），共有13个“丁”字形纸片，正好覆盖52格。

但13个奇数的和还是奇数，因此覆盖的白格数和黑格数都是奇数，不可能都盖住26格。

因此，用所给的纸片不能盖住整个棋盘。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题2【题目】：有n盏有拉线开关的灯都亮着，规定每次拉动（n－1）个开关，能不能将所有灯都关上？【解析】：n盏灯开始都是亮着的。

每盏灯拉动开关奇数次后会关上，拉动开关偶数次后又会点亮。

分两种情况讨论：一、当n是奇数时，（n－1）是偶数。

要使所有灯都关上，每盏灯都要拉动奇数次，奇数个奇数的和是奇数，n盏灯拉动开关的总次数必须是奇数；每次拉动（n－1）个开关，（n－1）是偶数，无论拉动多少次，任意多个偶数的和是偶数，拉动开关的总次数只能是偶数。

所以当n是奇数时，按规定，不能将所有灯都关上。

二、当n是偶数时。

如下图，白点表示亮灯，黑点表示关灯，每次拉动（n－1）盏灯，黑白交界处有一盏没有拉动的灯：开始时：○○○○○○○○○……第一次：○●●●●●●●●……第二次：●●○○○○○○○……第三次：○○○●●●●●●……第四次：●●●●○○○○○……第五次：○○○○○●●●●……第六次：●●●●●●○○○………………观察上面图示可以发现，当n是偶数时，每次拉动（n－1）盏灯，拉动n次，可以将n盏灯全部关上。

三年级奥数解析（四十三）奇与偶《奥赛天天练》第49讲《奇与偶》。

所有整数可以分为奇数和偶数两大类，现阶段，所谓奇数指的就是孩子们熟悉的单数，偶数指的就是双数和0。

在四年级，孩子们将学到奇、偶数完整的定义：能被2整除的整数叫做偶数。

如0，2，4，…等都是偶数，包括正偶数、负偶数和0。

不能被2整除的整数叫做奇数。

如1，3，5，…等都是奇数，包括正奇数和负奇数。

人们习惯上常用2n表示偶数，用2n＋1表示奇数（其中n是整数）。

通过实验，孩子们很容易证明奇、偶数有下面一些重要性质：1、任意一个整数都有奇偶性，即不是奇数就是偶数。

2、奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数。

3、奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数；任意多个偶数的和（或差）总是偶数。

4、两个奇数之积为奇数；一个偶数与一个整数之积为偶数。

5、若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数；如果所有的乘数都是奇数，积就是奇数。

6、偶数的平方必能被4整除，奇数的平方被4除余1。

注：第3条性质可以利用第2条性质进行证明，第5条性质可以利用第4条性质进行证明。

《奥赛天天练》第49讲，巩固训练，习题1【题目】：有5盏亮着的灯，每盏都用拉线开关，如果规定每次必须同时拉动4个拉线开关。

试问：能否把5盏灯都关闭？【解析】：每次同时拉动4个拉线开关，不能把5盏灯都关闭。

任意一盏灯在亮着的状态下，只有拉动奇数次，才能把灯关闭。

要5盏灯都关闭，则每盏灯都要拉动奇数次，总次数为5个奇数的和还是奇数次。

而按规定“每次必须同时拉动4个拉线开关”，4是偶数，无论拉多少次，总次数都是若干个4相加必然是偶数次，不可能是奇数次。

因此不能把把5盏灯都关闭。

《奥赛天天练》第49讲，拓展提高，习题1【题目】：桌上有6只杯口朝上的杯子，每次翻动4只杯子，能否经过若干次翻动，使全部杯口朝下？为什么？【解析】：首先根据翻动次数的奇偶性，判断这样翻动有可能使全部杯口朝下：每只杯子在杯口朝上的状况下，只有翻动奇数次才能使杯口朝下，6个杯子全部杯口朝下，翻动的总次数为6个奇数次的和为偶数次。