洛必达法则求极限教学
摘要：本文结合教学实际对洛必达法则及其在求未定式极限方面的应用进行了分析，同时还分析了学生易错的洛必达法则求函数极限失效的情况。

关键词：洛必达法则；未定式；极限
求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。

教学中发现对于普通的求极限问题，学生解决起来问题不大，但是对于形如：■，■，∞-∞，0·∞，∞0，1∞，00的7种未定式，学生虽然能联系到洛必达法则，但是经常出错。

一、洛必达法则及应用
（一）洛必达法则
若函数f（x）与函数g（x）满足下列条件：
1. （或∞），（或∞）；
2.f（x）与g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导；
3. （或∞）。

则
洛必达法则所述极限结果对下述六类极限过程均适用：。

（二）洛必达法则的应用
1. 基本类型：未定式直接应用法则求极限
解：这是■型未定式。

直接运用洛必达法则有
解：这个极限是■型未定式，于是
2. 未定式的其他類型：0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞型极限的
求解
除了■型或■这两种未定式外，还可以通过转化，来解其他未定式。

解：这是∞-∞型，设法化为■型：
解：这是1∞未定式
解：这是∞0未定式，经变形得，
故
例6 求
解：这是0·∞型未定式，可变形为，成了■
型未定式，于是
解：这是00型未定式，由对数恒等式知，xx=exInx，运用例8可得
二、洛必达法则对于实值函数的失效问题
洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。

“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。

所以，在要使用洛必达法则时，要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。

（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合洛必达法则的条件（3）
例8 计算
解：，而不存在，
所以不存在，洛必达法则失效，正确解法是
存在
（二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合法则的条件（3）
解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
则失效，处理的方法是分子分母同乘e-x，得到
（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合法则的条件（3）
解：这是■型未定式，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第
三个条件完全不可能得到验证，因为分
子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。

正确有效的方法是作换元，令t=■，这样就有
（四）求导后有零点，也就是不满足条件
例如
的极限是不存在的，事实上，取x=n？仔-■→∞（n→∞），此时分母的导数是有零点的。

综合来看，我们在教学中既要向学生阐述清楚洛必达法则的巧妙和方便之处，也要向学生讲明白在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点，为学生培养好的解题习惯，以减少在
用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。

参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.
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[5]何少芳.用洛必达法则求未定式极限小结[J].内江科技，2012（10）：169-171.
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