1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x)
x0 x (2) lim e x ex
x0 sin x (3) lim sin x sin a
xa x a (4) lim sin 3x
x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
(6) lim xm am xa x n a n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
(8) lim tan x
x
tan 3x
2
ln(1 1 )
(9) lim
x
x arc cot x
(10) lim ln(1 x2 ) x0 sec x cos x
(11) lim x cot 2x
x0
1
(12) lim x 2e x2 x0
(13) lim x 1
2 x2 1
1 x 1
(14) lim (1 a ) x x x
(15) lim xsin x x0
(16) lim ( 1 )tan x
x0 x


1
解 (1) lim ln(1 x) lim 1 x lim 1 1
x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
(5) lim ln sin x lim
cot x
1 lim csc2 x 1
x ( 2x)2 x 2( 2x) (2) 4 x 2
8
2
2
2
(6) lim x m a m lim mxm1 mxm1 m a mn xa x n a n xa nx n1 na n1 n
(7) lim
ln tan 7x
lim
1 tan 7x
sec2
7x 7
7
lim
tan 2x 7
lim
sec2 2x 2 1
x0 ln tan 2x x0 1 sec2 2x 2 2 x0 tan 7x 2 x0 sec2 7x 7
tan 2x
(8) lim tan x lim sec2 x 1 lim cos2 3x 1 lim 2 cos 3x( sin 3x) 3
x tan 3x x sec2 3x 3 3 x cos2 x 3 x 2 cos x( sin x)
2
2
2
2
lim cos 3x lim 3sin 3x 3
x cos x
x sin x
2
2
1 ( 1 )
ln(1 1 )
1 1
(9) lim
x lim x
x2 lim 1 x2 lim 2x lim 2 1
x arc cot x x
1
x x x 2 x 1 2x x 2
1 x2
(10) lim ln(1 x2 ) lim cos x ln(1 x2 ) lim x2 (注
x0 sec x cos x x0 1 cos2 x
x0 1 cos2 x
lim
2x
lim x 1
x0 2 cos x( sin x) x0 sin x
cosx ln(1 x2)~x2)
(11) lim x cot 2x lim x lim 1 1
x 0
x0 tan 2x x0 sec2 2x 2 2
(12)
1
1
lim x 2e x2
e x2 lim
lim
et
lim
et

x0
x0 1 t t t 1
x2
(注
当 x0 时


t 1 x2
(13)
lim x 1
2 x2 1
x
1 1
lim
x1
1 x x2 1
lim
x1
1 2x
1 2
(14)因为
lim (1
a)x
lim
x ln(1 a )
ex
x
x
x
1 ( a )
而
lim
x(ln(1
a)
lim
ln(1
a) x
lim
1
a x
x2 lim ax lim a a
x
x x 1
x
1
x x a x 1
x
x2
所以
lim (1
a)x
lim
x ln(1 a )
e
x
ea
x
x
x
(15)因为 lim xsin x lim esin x ln x
x0
x0
1
而
lim sin x ln x lim ln x lim
x
lim sin 2 x 0
x 0
x0 csc x x0 csc x cot x x0 x cos x
所以
lim xsin x lim esin xln x e0 1
x 0
x0
(16)因为 lim ( 1 )tan x etan x ln x
x0 x
1
而
lim tan x ln x lim ln x lim x lim sin 2 x 0
x 0
x0 cot x x0 csc2 x
x0 x
所以
lim(1)tanx limetanxln x e0 1
x x 0
x0
2 验证极限 lim x sin x 存在 但不能用洛必达法则得出 x x
解 lim x sin x lim (1 sin x) 1
x x
x
x
极限 lim x sin x 是存在的 x x
但 lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x) 不存在
x (x)
x 1
x
不能用洛必达法则


x 2 sin 1
3 验证极限 lim
x 存在
x0 sin x
但不能用洛必达法则得出
x2 sin 1
解 lim
x lim
x
x sin 1 1 0 0
x0 sin x x0 sin x
x
x 2 sin 1
极限 lim
x 是存在的
x0 sin x
(x2 sin 1 )
2x sin 1 cos 1
但 lim
x lim
x
x 不存在
x0 (sin x) x0
cos x
不能用洛必达法则
4
讨论函数
f
(x)
1
[ (1 x) x e
1
]x
x 0 在点 x 0 处的连续性

1
e2
x0
解
1
f (0) e 2
1
1
lim f (x) lim e 2 e 2 f (0)
x0
x0
1
因为
lim
f (x)
lim
[(1
x)
x
1
]x
lim
1[ 1 ln(1 x)1]
ex x
x0
x0 e
x0
而
lim
1 [1 ln(1 x) 1]
lim
ln(1 x) x
lim
1 1 x
1
lim
1 1
x0 x x
x0
x2
x0 2x
x0 2(1 x) 2
1
所以
lim
f (x)
lim
[(1
x)
x
1
]x
1[ 1 ln(1x)1]
lim e x x
1
e 2
f (0)
x0
x0 e
x0
因此 f(x)在点 x 0 处连续













。