第一章思考题
(2012级本科学生作品)
1、什么样的算法被称为不稳定算法？试列举一个例子进行说明。
在算法执行过程中，舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。
例如，假设初始数据有一点微小误差，就会对一个算法的数据结构产生很大的影响，造成误差扩散。
用计算公式ln 1ln n n =-，构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。
2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数，高中也学过他的具体过程，请举出一个例子并用秦九韶算法计算。
答；一般的，一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。
具体的不太会了。
3、为什么要设立相对误差的概念？
答：相对误差是近似值误差与精确值的比值，用来衡量近似值的近似程度。
x=10±1，y=1000±5。
虽然x 的误差比y 的误差小，但y 的近似程度比x 更好。
这单用误差无法表现出来，而相对误差可以解决这个问题。
4、误差在生活中有什么作用？
答：误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中，在生活中误差的作用也非常大，比如在建筑行业中，设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。
5、有效数字以及计算规则
答：有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm ，亦可能是11.22cm ，测量的结果有±0.01cm 的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是
有效数字。
例如，分析天平称得的物体质量为7.1560g，滴定时滴定管读数为20.05mL，这两个数值中的“0”都是有效数字。
在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字。
在计算中常会遇到下列两种情况：一是化学计量关系中的分数和倍数，这些数不是测量所得，它们的有效数字位数可视为无限多位；另一种情况是关于pH、pK和lgK等对数值，其有效数字的位数仅取决于小数部分的位数，因为整数部分只与该真数中的10的方次有关。
例如，pH=13.15为两位有效数字，整数部分13不是有效数字。
若将其表示成[H+]=7.1×10-14，就可以看出13的作用仅是确定了[H+]在10-14数量级上，其数学意义与确定小数点位置的“0”相同。
在滴定分析中，实验数据的记录只应保留一位可疑数字，结果的计算和数据处理均应按有效数字的计算规则进行。
在进行加减运算时，有效数字取舍以小数点后位数最少的数值为准。
例如，0.0231、24.57和1.16832三个数相加，24.57的数值小数点后位数最少，故其他数值也应取小数点后两位，医学教育网搜集整理其结果是：0.02+24.57+1.17=25.76
在乘除运算中，应以有效数字最少的为准。
例如，0.0231、24.57和1.16832三个数相乘，0.0231的有效数字最少，只有3位，故其他数字也只取3位。
运算的结果也保留3位有效数字：
0.0231×24.6×1.17=0.665
在对数运算中，所取对数的位数应与真数的有效数字位数相同。
例如，lg9.6的真数有两位有效数字，则对数应为0.98，不应该是0.982或0.9823.又如[H+]为3.0×10-2mol·L-1时，PH应为1.52.
正确运用有效数字规则进行运算，不但能够反映出计算结果的可信程度，而且能大大简化计算过程。
在滴定分析中一般常采用四位有效数字。
6、在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。
数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。
误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。
一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。
计算方法课中主要讨论计算误差。
这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。
例如，解决连续性问题时通常要将其转
化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。
下面不全面列举出本课程内容涉及的误差
线性方程组直接求解方法——舍入误差
多项式插值方法——插值误差
数据拟合方法——残差
数值积分方法——求积误差
微分方程数值解方法——局部截断误差
7、有效数字的意义是什么？都有哪些作用？
我的思考：有效数字是一个数据的在保证最小误差的情况下，取的一个能够在计算中发挥其有效作用的近似值。
有效数字的作用在于，最大精度地去发挥这个数值在计算中的作用，而又不会对计算结果造成太大影响，是计算过程较为简单。
8、什么是算法？怎样判断一个算法是否稳定？
答：（1）由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整解题步骤，称为算法；（2）研究一个计算公式是否稳定，只要假设初始值有误差ɛ，中间不再产生新误差，考察由ɛ引起的误差积累是否增长，如不增长就认为是稳定的，否则是不稳定的。
9、有效数字的概念是如何抽象而来的？
答：有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。
有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。
若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似值具有n 位有效数字。
10、什么是误差和误差限?他们有什么区别?
答:误差是近似值与精确值的差,可以是正的,也可以是负的,它是一个不确定的数.误差限有误差下线和误差下限之分,误差上限是误差的最大值,误差下限是误差的最小值,他有一个范围,不是一个数,也是不确定的.
11、在一项浩大的工程中，要进行成千上万的数值分析，也许一处误差就会造成整个庞大工程的失误，除了课本中介绍的几种预防误差的方法，还有哪些方法？有没有一种可以预防数值误差的合理计算系统？
12、什么是截断误差和舍入误差？它们分别对应算法的那种性质？
截断误差：是指计算某个算式时没有精确的计算结果，如积分计算，无穷级数计算等，使用极限的形式表达的，显然我们只能截取有限项进行计算，此时必定会有误差存在。
舍入误差：是指由于计算机表示位数的有限，很难表示位数很长的数字，这时计算机就会将其舍成一定的位数，引起舍入误差，每一步的舍入误差是微不足道的，但经过传播和积累，舍入误差可能会淹没所要的真解。
13、如何评价一个数值算法的好坏？
答：设计数值算法主要是处理计算精度与计算速度两个问题，计算精度就是计算结果的可靠性问题，一般应具有收敛性与数值稳定性，计算速度就是算法的效率问退，它包含计算量和存储量两个方面。
14、利用级数公式π/4=1－1/3+1/5－1/7...........可计算出无理数π的近似值，由于交错级数的部分和数列Sn在其极限上下值摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值|an+1|。
试分析，为得到级数三位有效数字近似值。
应取多少项求和？
15、在实际生活中有些测量值不是经过四舍五入得来的，如何判断它们的相对误差？比如有一种四舍六入五保留的取值方法应该怎样计算它的相对误差？
16、在计算机软件编程中应在怎样设计一种软件将误差降到最小？
答：首先，要注意运算次序，防止大数“吃掉”小数；其次，要尽量减少运算次数，节省计算时间，减小所占空间，提高精确率。