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实变函数第二章复习题及解答

第二章 复习题
一、判断题
1、对任意n E R ⊆,*m E 都存在。

(√ )
2、对任意n E R ⊆,mE 都存在。

(× )
3、设n E R ⊆,则*
m E 可能小于零。

(× )
4、设A B ⊆,则**m A m B ≤。

(√ )
5、设A B ⊆,则**m A m B <。

(× )
6、**1
1()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。

(× )
7、**1
1()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。

(√ ) 8、设E 为n R 中的可数集,则*0m E =。

(√ )
9、设Q 为有理数集,则*0m Q =。

(√ )
10、设I 为n R 中的区间,则*m I mI I ==。

(√ )
11、设I 为n R 中的无穷区间,则*m I =+∞。

(√ )
12、设E 为n R 中的有界集,则*m E <+∞。

(√ )
13、设E 为n R 中的无界集,则*m E =+∞。

(× )
14、E 是可测集⇔c
E 是可测集。

(√ )
15、设{n S }是可测集列,则1n n S ∞= ,1n n S ∞= 都是可测集。

(√ ) 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。

(√ )
17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。

(√ )
18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。

(√ )
19、若E =∅,则*0m E >。

(× )
20、若E 是无限集,且*
0m E =,则E 是可数集。

(× )
21、若mE =+∞,则E 必为无界集。

(√ )
22、在n R 中必存在测度为零的无界集。

(√ )
23、若A ,B 都是可测集,A B ⊆且mA mB =,则()0m B A -=。

(× )
24、∅和n R 都是可测集,且0m ∅=,n
mR =+∞。

(√ )
25、设12,E E 为可测集,则12()m E E -≥12mE mE -。

(× )
26、设12,E E 为可测集,且12E E ⊇,则12()m E E -=12mE mE -。

(× )
二、填空题
1、若E 是可数集,则*m E = 0 ;E 为 可测 集;mE = 0 。

2、若12,,,n S S S 为可测集,则1
n i i m S = 小于或等于 1
n i i mS =∑;若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集,则1n i i m S = 等于 1n
i
i mS =∑。

3、设12,E E 为可测集,则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ;若还有2mE <+∞,则 12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。

4、设12,E E 为可测集,且12E E ⊇,2mE <+∞,则12()m E E - 等于 12mE mE -。

5、设0x 为E 的内点,则*m E 大于 0。

6、设P 为康托三分集,则P 为 可测 集,且mP = 0 。

7、m ∅= 0 ,n
mR = +∞ 。

8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。

9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。

三、证明题
1、证明:若E 有界,则*
m E <+∞。

证明:因为E 有界,所以,存在一个有限区间I ,使得E I ⊂,从而m E m I I **≤=<+∞。

2、证明:若*
0m E =,则E 为可测集。

证明:对任意A E ⊂,c B E ⊂,因为*0m E =,可得*0m A =,所以,
*****()m B m A B m A m B m B ≤⋃≤+=,
从而***()m A B m A m B ⋃=+,所以,E 为可测集。

3、证明:有理数集Q 为可测集,且0mQ =。

证明:因为有理数集Q 可数集,从而0m Q *=,所以,Q 为可测集,且0mQ m Q *==。

4、证明:若E ,F 都是可测集,且mE <+∞,E F ⊆,则()m F E mF mE -=-;若mE =+∞,则上面的结论还是否成立。

证明:因为()F F E E =-⋃,且()F E E -⋂=∅,所以,()mF m F E mE =-+。

又mE <+∞,所以,()m F E mF mE -=-。

若mE =+∞,则上面的结论不一定成立。

5、若1R 中的区间为可测集,则1
R 中的开集为可测集。

证明:由1R 中开集的结构得,1R 中的开集或为空集,显然是可测集;或为至多可数个互不相交的开区间的并集,而区间是可测集,至多可数个可测集的并集还是可测集,所以,它还是可测集。

综上所述,结论成立。

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