高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A ）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；
2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.
B ）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5
5b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ） 4、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S . 5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） 8、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a
b +=，则99100a a += . 题型二：求数列通项公式： 1）给出前n 项和求通项公式
1、⑴n n S n 322
+=； ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3，求数列{}n a 的通项公式
2）给出递推公式求通项公式
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用累加法；
11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
例：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；
例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211
，求n a 。
b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用累乘法.1
1
22332211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----
例、已知数列{}n a 满足：111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；
例:已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a 。
c 、构造新数列
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除1
n p +或待定系数法求解
例、n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.
例:已知数列{}n a 中，651=a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
3°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
例1、 已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.
例2、数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ，求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系
例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n
n n S b 3-=，
求数列{}n b 的通项公式．
例2、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项；⑵设1
2+=n S b n
n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
例：已知数列{}n a 前n 项和2
2
14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项n a .
题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2
1
.求证：{n S 1}是等差数列；
B ）证明数列等比
例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().
n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；
题型四：求数列的前n 项和
基本方法：A ）公式法，B ）拆解求和法. 例1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S .
C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1
；
例1、求和：S =1+n
+++++
+++++ 3211
3211211
例2、求和：n
n +++++++++11341231121 .
D ）倒序相加法，
例、设2
2
1)(x
x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++
E ）错位相减法，
例、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .
题型五：数列单调性最值问题
例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .
例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；
例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取值范围．。