n
n
到包括 p q
m
n -m
项为止的各项之和。
2．概率论的发展—古典概率论的完善与分析概率论的产生
与 Jakob Bernoulli同时代研究概率论的数学家是 Abraham De Moivre 。他原籍法 国，后移居英国，1697 年成为皇家学会会员。他在 1711 年写就《抽签的测量》一文， 1718 年扩充为《机会的学说》是概率论 早期著作之一。书中首次定义了独立事件的乘 法定理，给出了二项分布公式，发现二项式 1 1 的中项与各项之和 2 之间的比例关





算术平均 X 是应取的估计，然后去找误差密度 f 以迎合这一点，即找这样的 f，使由上式决
1 2 f x e 2 h 才能成立，这就是正态分布 定的 就是 X 。Guass 证明这只有在 2 h
高斯的这项工作对后世的影响极大， 它使正态分布同时有了 “高斯分布” 的名称。 N0, h 。 后世之所以将最小二乘法的发明权归于他，也正是因为这项工作。除此之外还有 Laplace 的学生 Poisson 对分析概率论的进一步研究，其中包括 1837 年出版的《关于犯罪和民事判 决的研究》 。
n
2 n Abraham De Moivre 还最早使用了现在称为概率积分的公式


0
e x dx
2

2
1733 年又用阶乘的近似公式导出正态分布的频率曲线
y ce -hx
2
（ c， h 为常数） 。关于 Jakob Bernoulli 的大数定律 Abraham De Moivre 对 p=1/2 的情 形证明了 n np / np1 - p 渐进地服从正态分布。 该结果后来由 Laplace 推广到一般 的 p（0<p<1） ，被称为 Moivre-Laplace 极限定理。 18 世纪的概率论还要提两项结果。一是英国数学家 J.Bayes 在《机会学说问题试解》 中建立了条件概率的 Bayes 定理： 当以知原因 c 产生结果 E 的概率是 PC E 时， 如果已给出 原因的先验概率（事前概率）p（c） ，则在知道结果 E 后原因 c 的条件概率（后验概率）是
n 表示第 n 次独立重复试验
n p 0其 n
中事件 A 出现的次数， 则
n
n
为事件 A 出现的频率， 则当 n→∞时 P
中 为任一正实数。 书中还推广了应用于概率的组合理论， 并用组合公式证明了 n 为正整数 时的二项式定理。书中还包括“伯努利定理” ：若 p 是出现单独一次事件的概率，q 是该事 件不出现的概率， 则在 n 次试验中该事件至少出现 m 次的概率为 p q 的展开式中从 p 项
，n 个独立测量值为 X1,X2,„,Xn.Guass 把后者的概率取为
L L ; X1 , X 2 , , X n f X1 ; f X n ; 其中 f 为待定的误差密度函数。到此为
3
概率论的产生、发展、现状
止他的作法与 Laplace 相同。但在往下进行时，他提出了两个创新的想法。一是他不采取 Bayes 的推理方式， 而径直把使上式达到最大的 X 1 , X 2 , , X n 作为 的估计， 即使 L max L 成立的 。Guass 的第二点创新的想法是：他把问题倒过来，先承认
n
n
2A n - 1
系为（当 n 很大时）
n n n -1
1 n
其中 A 为双曲对数
2
1 1 1 1 级 12 360 1260 1680
概率论的产生、发展、现状
数之值。他在 1730 年出版的《分析杂论》中给出了 n！的级数表达式，并指出对很大的 n，
n n ！~ e
4
概率论的产生、发展、现状
条件集合 下同一事件的概率联系起来。 Bernstein 就在这三个公理的基础上构造了概率论 的整个大厦。在此之后 1933 年，:Andrey Nikolaevich Kolmogorov 的《概率论基础》出版， 这是概率论发展史上具有“里程碑”式的著作。 在概率论公理化基础上， 现代概率论取得了一系列理论上的重大突破。 一是随机过程的 研究由 Markov 过程推进到对一类特殊的 Markov 过程—Brown 运动； 二是对具有重要意义的 随机过程“鞅”的研究；三是由日本数学家于 1942 年引入的随机积分与随机微分方程的研 究。由于科学技术中许多实际问题的推进以及概率论逻辑基础的建立，概率论从 20 世纪 30 年代以来得到迅速发展。目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立增量过程，Markov 过程，平稳过程和时间序列，鞅和随机微分方程，点过程等。
x2
3．概率论的现状—现代（测度）概率论
现代概率论主要以测度论来研究概率论，因此被称为是测度概率论，这时概率论已经 实现了公理化。在公理化的基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。 先来看看概率论的公理化。1917 年 Bernstein, Sergi Natanovich 发表了一篇论文， 题目是《论概率论的公理化基础》 ，随后的几年里他仍致力于研究概率论公理化。1927 年他 的《概率论》第一版出版。书中 Bernstein 给出了一个详细的概率论公理体系。它假定我们 在自然科学中的推理是基于以往的经验，只要给定的条件集合 实现，属于已知类 A 的一 个事件必然发生，这和其他因素无关。然而，一般而言，一个事件不可能绝对出现。人们不 能完全确切地预言真实现象的行为。只有当集合 不太大，而易于观察时，把 和 A 联系 起来的规律才有实际意义。如果这个条件不成立，事件 A 就叫做随机事件。然后他试着引进 一个简单点的条件集合 来代替 ，它（理论上）可以重复实现无限多次，当 存在时， 给定试验中事件 A 以一个明确的概率发生， 而且这个概率可以用数值表示。 如果也定义了事 件 B 的概率，那么下面三个关系必有一个成立 P(A)=P(B);P(A)>P(B);P(A)<P(B)然后， Bernstein 引进了三个公理： （1）概率的可比较性公理（2）不相容事件公理（3）事件组合 公理 前两个公理考虑了条件集合 固定的情况，第三个公理把条件 下 A 的概率与不同的
PE c
PcPC E 这已成为统计判断的理论基础。另一成果是法国数学家 G.L.L.Buffon 的几 PcPc E
C
Байду номын сангаас
何概率。他于 1777 年出版《能辨是非的算术试验》 ，提出并解决了下列概率问题：把一个小 圆片投入给分为若干个小正方形的矩形域中， 问使小圆片完全落在某正方形内的概率是多少？ 他还解决了此类更难的问题， 其中包括投掷正方形薄片或针形物时的概率， 这些问题被称为 Buffon 问题，其中“投针问题”最著名，它的结果可以用来计算圆周率 的近似值。至此 古典概率论的结构已形成。 1812 年 Laplace 所著《概率的分析理论》出版，首次明确了概率论的古典定义，即讨 论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形。 他还在概率论中引入了更有 力的分析工具，如差分方程，母函数等，从而实现了概率论由单纯组合计算到分析方法的过 渡，将概率论推向一个新的发展阶段—分析概率论阶段。Laplace 增加了概率在选举、审判 调查、气象等方面的应用，论述了几何概率论、伯努利定理和最小二乘法的讨论。 与 Laplace 同时代的德国数学大师 Carl Friedrich Gauss 在概率论方面也有一地的研 究。 1809 年， Gauss 发表了其数学和天体力学的名著 《绕日天体运动的理论》 。 在此书末尾， 他写了一节有关“数据结合”的问题，实际涉及的就是这个误差分布的确定问题。设真值为
1
概率论的产生、发展、现状
利用算术方法都得了这一问题的正确解答。 后来他们各自又将问题作了扩展， 如三个赌徒的 赌金分配问题等等，得到了更为完满的解答。他们在通信中建立了期望事件的概率，蕴含 n 重伯努利实验思想，引发了后人从事概率研究的兴趣。 1657 年荷兰数学家 Christiaan Huygens 所著《论赌博中的计算》出版，是最早公开发 表的概率论文献。它基于 Blaise Pascal 和 Pierre de Fermat 之间在有些问题上的通信， 解决了赌博上可能出现的有趣的实际问题，引发了“数学期望”概念，证明了：若 p 是一个 人获得赌金 a 的概率，q 是他获得赌金 b 的概率，则他可以希望获得的赌金数是 ap+bq。 Christiaan Huygens 的论著成为概率论前史的代表作，对概率论的建立有较大影响。 概率论创立的标志是 18 世纪瑞士数学家 Jakob Bernoulli的著作《猜度术》 ，它使概率 论成为一个独立的数学分支。Jakob Bernoulli在 1685 年就发表过有关赌博游戏中输赢次数 问题的论文， 《猜度术》对此作了总结，其主要贡献是提出“伯努利大数定律” ：即“随着观 测数目的不断增加，那记录在案的有利事件与不利事件的比接近真实比的概率也不断增加， 以致这概率将最终超过所要求的任意的确定的度” 。这实际上建立了概率论中第一个极限定 理，用现代符号表示为，设事件 A 的概率 P(A)=p（0<p<1）若
概率论的产生、 发展、 现状
杨 钊
复旦大学数学科学学院 09 数学类
概率论的产生、发展、现状
1．概率论的产生
概率论是研究随机现象数学规律的数学分支。创立于 18 世纪，而其萌芽却早在 16 世 纪就已出现。 它引发于赌博中的掷骰。 人们之所以没有在一开始就创立概率论也正是由于其 游戏性质。 中世纪末期，欧洲流行赌博，而且赌法复杂，赌注量大，一些职业赌徒为了求获胜机 会，开始寻求取胜的办法。最初的问题是求“点数” 。例如同时掷 3 个骰子，出现 9 点和 10 点哪种可能性大。据说 Galileo Galilei 曾试图解决过这类问题，他用穷举法说明了出现 10 点的可能性比出现 9 点的可能性大（27:25） 。 真正引发数学家研究概率理论的是“合理分配赌注问题” 。1494 年意大利数学家 Pacioli,Luca 在他的《算术、几何、比与比例集成》中首次记载了这样一个问题：假如在 一次比赛中先赢 6 次为胜。 两个赌徒在一个赢 5 次另一个赢两次的情况下赌博因故中断， 问 赌注如何分配才合理。Pacioli,Luca 给出的答案是按 5:2 分给两个赌徒，这似乎很合理。 但若干年后另一数学家 Girolamo Cardano 重新研究这个问题时提出了疑问。他提出不能以 已赌过的局数结果作为分配赌注的依据，而要考虑剩下未赌的局数，事实上，以赢 4 局的赌 徒只需再赢一次即可得到全部赌资，而另一赌徒则需连赢 4 局。Girolamo Cardano 分析： 以后的赌博只有 5 种可能的结果，即第一个赌徒赢第一次，赢第二次，赢第三次，赢第四次 或全部输掉。 他认为总赌金应该按 （1+2+3+4） :1=10:1 的比例分配才合理。 Girolamo Cardano 考虑问题的思路较 Pacioli,Luca 进了一步， 但结论仍是错的。 从思维方式上看 Pacioli,Luca 根本就错了， 他错在用过去发生的已成定局的事件来预测未来。 下一次赌博和上一次赌博是 没有任何关系的。而 Girolamo Cardano 考虑问题的方式大体上是对的。这个问题的正确答 案是 15:1，是应用 100 年后 Blaise Pascal 和 Pierre de Fermat 得出的原理推出的。 约 16 世纪 30 年代 Girolamo Cardano 写成的《掷骰游戏之书》 ，是现存最早的概率论 的专著。 其中全面论述了掷骰、 打牌等游戏中的数学道理， 首次将数学理论应用于这类研究， 得到了相当于现代概率论中幂定律、大数定律等一些基本命题的雏形。 1654 年法国一位叫梅雷的赌徒向他的朋友、数学家 Blaise Pascal 重新提出“合理分 配赌注问题” ，问题的表述更为一般化：两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 s 局就胜利，现在 一人赢 a 局 （ a<s ） ， 另一人赢 b 局 （ b<s ） ， 赌博中止， 问赌金怎样分配才算合理。 Blaise Pascal 得到这一问题后立即告知 Pierre de Fermat，两人从 1657 年 7 月开始，为此频繁通 信，展开有关概率论和组合学的研究。Pierre de Fermat 利用组合学方法，Blaise Pascal