泰勒公式
一、泰勒公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限
(三) 其它应用
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限
(三) 其它应用
原理
f (0) f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) x x x 1! 2! n!
泰勒(Taylor)中值定理2 如果函数 那么对任一 在 的某个邻域 内具有 阶导数,
有
0
函数f 函数 (x)按 xx -) x按 n次泰勒多项式 0)的幂展开的 f(( (x-x )的幂展开的 带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式
其中
拉格朗日 余项
这里 是
与 之间的某个值.
x0 0
麦克劳林(Maclaurin)公式
第三讲 泰勒公式
泰勒公式
一、泰勒公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
泰勒公式
一、泰勒公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
研究问题
较复杂
f ( x)
探究问题
?
简单
误差
近似计算
理论分析
pn ( x )
(k ) (k ) n p ( x ) f ( x ) o (( x x ) n 0 0 多项式 余 项 0 ) k 0,1, 2,, n
n0
拉格朗日中值公式 函数的微分
佩亚诺(Peano)型 余项
n1
f ( n 1) ( x ) M (a x b)
泰勒公式
一、泰勒公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
泰勒公式
一、泰勒公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
x f ( x ) e 的麦克劳林公式
Rn ( x ) Rn ( x ) lim lim n x x n( x x )n 1 x x0 ( x x ) 0 0
0
( x ) Rn lim x x0 n( n 1)( x x )n 2 0
( n 1) Rn ( x) ( n 1) lim Rn ( x0 ) 0 x x0 n !( x x ) 0 ( n 1) ( n 1) Rn ( x ) Rn ( x0 ) 1 1 ( n) lim Rn ( x0 ) 0 n ! x x0 x x0 n!
Rn ( x )
p1 ( x0 ) f ( x0 ) ( x0 ) f ( x0 ) p1 微分 f ( x ) f 一次多项式 ( x0 ) f ( x0 )( p x1 x)0 ) o(误 x 差 x0 ) (x
pn(x)的确定 令
a0 p( x0 ) f ( x0 )
拉格朗日中值定理 f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
余项Rn(x)的确定
(k ) (k ) Rn ( x0 ) pn ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) 0 (k 0,1,2,, n)
(1 ) Rn ( x ) Rn Rn ( x ) Rn ( x0 ) 多 n n1 n1 次 ( n 1 )( x ) ( x x ) ( x x0 ) 0 1 0 0 使 用 ( 1 在x0与x 之间) 柯 西 ( 2 ) (1 ) Rn ( x0 ) Rn Rn 中 n 1 值 ( n 1)(1 x0 )n 0 ( n 1)n( 2 x0 ) 定 理 ( 2 在x0与 1之间) ( n) ( n) ( n 1) Rn ( n ) Rn ( x0 ) Rn ( ) f ( n1) ( ) ( n 1) ! ( n 1) 2( n x0 ) 0 ( n 1) ! ( 在x0与 xn之间)
其中
佩亚诺 余项
0
研究问题
较复杂
f ( x)
探究问题
?
简单
误差
近似计算
理论分析 定性 定量
pn ( x )
(k ) (k ) n p ( x ) f ( x ) o (( x x ) n 0 0 多项式 余 项 0 ) k 0,1, 2,, n 表达式?
Rn ( x )
p1 ( x0 ) f ( x0 ) ( x0 ) f ( x0 ) p1 微分 f ( x ) f 一次多项式 ( x0 ) f ( x0 )( p x1 x)0 ) o(误 x 差 x0 ) (x
f ( x ) sin x 的麦克劳林公式
f ( x ) sin x 的麦克劳林公式
类似可得
f ( x ) ln(1 x ) 的麦克劳林公式
f ( x ) (1 x ) 的麦克劳林公式
泰勒公式
一、泰勒公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
p f ( x0 ) n ( x0 ) a1 1! 1! p f ( x0 ) n ( x0 ) a2 2! 2!
( n) pn ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) an n! n!
令
令
令
余项Rn(x)的确定
(k ) (k ) Rn ( x0 ) pn ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) 0 (k 0,1,2,, n)
A可取多大？ (1)
y x
6
x3 3!
4 2 2 2 4 0
yx
3 5 x x y x 3! 5!
(2)
(3)
4
2
4
6
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限
(三) 其它应用
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限
(三) 其它应用
例3 求下列极限
(1)
注 高阶无穷小的性质
多 次 使 用 洛 必 达 法 则
( x0 ) 0 Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) 0 Rn
泰勒(Taylor)中值定理1 如果函数 在 处具有n阶导数,那么存在 的一个邻域，
对于该邻域内的任一x，有
函数f函数 (x)按 的幂展开的 n次泰勒多项式 0)( f( (x x)x 按 若 在 应用 内, 误差
1) 已知x 和误差限 , 确定近似公式的项数n ;
2) 已知近似公式的项数n和x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知近似公式的项数n 和误差限 , 确定公式中x 的适用范围.
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间 上用近似公式
计算
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
(2)
(c为常数)
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限
(三) 其它应用
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限
(三) 其它应用
例4 设函数
在
上二阶可导,且
证明对于任意二数
及
恒有:
例5 证明不等式