中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案高等数学(专科)一、填空题： 1.函数1142-+-=x x y 的定义域是 。
解：),2[]2,(∞+--∞ 。
2.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 。
解：62-x 3.sin limx x xx→∞-= 。
答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，又由23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)1)((lim0x a x be x x ，则=a _____, =b _____。
∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b abe x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
7.设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()=+1n y(1)!n +8.2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
答案：2)12(+x 或1442++x x 9.函数22ln(1)x y z--=的定义域为 。
解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ⇒ 的定义域为：{10|),(22<+<y x y x 且x y 42≤}10.已知22),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f .解：令x y u +=，x y v -=，则,22u v u vx y +-==，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=，22(,)()4xf x y x y =-11.设22),(yx xxy y x f ++=,则=')1,0(x f 。
=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=2000(,1)(0,1)1(0,1)limlim 2x x x xx f x f x f xx∆→∆→∆∆+-∆-∆+'===∆∆ 00(0,1)(0,1)00(0,1)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆+--'===∆∆。
12.设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则tzd d ＝ 。
解：22sin 3cos dzx t t y dt=-+ 13.=⎰⎰dx x f d d dx d)( 。
解：由导数与积分互为逆运算得，)()(x f dx x f d d dx d=⎰⎰。
14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =⎰-13)(，则=)7(f 。
解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713=-x ，得2=x ，所以12131)7(22===x x f . 15.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。
答案：∵)d(e 1lim d e 2100kx k x b kx b kx--==⎰⎰-+∞→∞+-kk k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→∴2=k16.设函数f(x,y)连续，且满足⎰⎰+=Dy d y x f xy x f 2),(),(σ，其中,:222a y x D ≤+则f(x,y)=______. 解：.4442x a y π+ 记⎰⎰=Dd y x f A σ),(，则2),(yAx y x f +=，两端在D 上积分有：⎰⎰⎰⎰+=DDd yAxd A σσ2，其中⎰⎰=Dxd A0σ（由对称性），⎰⎰⎰⎰==aDa d d d y 0423202.4sin πρϕρϕσπ即 44a A π=，所以，.4),(42x a y y x f π+=17.求曲线2,422ayx ax y ==所围成图形的面积为 ，（a>0） 解：223a18.∑∞=--122212n n nx n ； 解：令2x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数∑∞=--11212n n ny n ，记其各项系数为n b ，因为21212lim 2122212lim lim 11=+-=+⋅-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222<≤⇒<<-x y ， 故22<<-x .当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞=-1)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为)2,2(-.19.()02='-''y y 的满足初始条件()()411,1211='=y y 的特解为321121⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 。
20.微分方程03='-''y y 的通解为xe c c y 321+=. 21.微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c ey x2sin 2cos 213+=-。
22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |= . 答案：()311n- 23.11111111x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 答案： 2;24.f (x )=312514xxx是 次多项式，其一次项的系数是 。
解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。
25.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC . 26.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = .解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B )∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.627.A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= .解：A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.828.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为C B A C B A C B A ++，即有 P (C B A C B A C B A ++)=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.3629.已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6,且P （AB ）＝0.4，则P （AB ）＝ ；P （A B －）＝ ；解：P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.330.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 .解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)(二、单项选择题：1.函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ ） A.是奇函数 B.是偶函数； C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解：利用奇偶函数的定义进行验证。
)(11)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x xx x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。
2.若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ ） A.2x B. 22-x C.2)1(-x D.12-x 解：因为2)1(212122222-+=-++=+x x xx x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2-=x x f ，故选项B 正确。
3.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 3解：由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D4.已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ ） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a解：()()011lim )1(lim 22=+-+--=--+∞→∞→x bx b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。
A.e 1xx ,()→∞ B.sin ,()xxx →∞； C.ln(),()11+→x x D.x x x +-→110,()解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sin lim=∞→xxx而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。
6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）(A))(1sin∞→=x xx y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1cos 1→=x xx y 解：111sin lim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x ,故不选(A)。