数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子
例1：求极限 .1sin ...212sin 1sin lim ⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡++++++∞→n n n n n n n πππ
[分析]由于是求数列的极限，即∑=∞→+
n i n i
n n i 11sin
lim π
，其分子和分母
同时都在变化，这时可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i 的项略去，同时配合放缩法进行求解。

由于原数列分
母随着i 趋向到n ，分母都会小于()1+n ,他的倒数，即
()11
+n 小
于除了第一项的其他项，所以∑∑==∞→∞→+≤+n i n i n n i
n n i n n i 11
1sin
lim 1sin lim ππ。

同理，原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会大于()n ，他的倒
数，即()n 1都会大于其他项，所以∑∑==∞→∞→≤+n i n i n n n n i i
n n i 11
sin
lim 1sin lim ππ
由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：
令n i x =，1
1
+=n dx (最左边的式子)，
n dx 1=(最右边的式子)，得：⎰∑⎰≤+≤=∞→1
01
10)sin(1sin lim )sin(dx x i
n n i dx x n i n πππ 即：πππ21sin lim 21
≤
+
≤∑=∞→n i n i
n n i 所以原题的极限为：π2.
例2：利用夹逼定理证明().211 (2)
111lim 2+=⎪⎭⎫
⎝⎛+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：⎪⎭⎫
⎝⎛+--+-+-k n n n n k 1 (2)
111都是连续
减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。

观察到表达式：⎪⎭⎫
⎝⎛+--+-+-k n n n n k 1 (2)
111中有k 个
n 1
相加，所以可以分别和后
面k 个相减项相结合可以得到：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n
n n
n n
11
...211111，
所以可以得到：()∑=+k
i i n n i 1
，同上面例题一样，分子和分母同时都
在变动，可以尝试把分母固定不变。

所以可得：
()()()∑∑∑===+≤+≤+k
i k i k
i n n i
i n n i k n n i 1111
所以可得：
()()()∑∑∑===+⋅≤+⋅≤+⋅k
i k i k
i n n i n i n n i n k n n i n 12
1212
1 ()()()
∑∑∑=∞→=∞→=∞→+⋅≤+⋅≤+⋅k
i n k i n k
i n n n i n i n n i n k n n i n 12
1212
1lim lim lim
()()()
()()12
1lim lim 21lim 2122++⋅≤+⋅≤++⋅
∞→=∞→∞
→∑n n k
k n i n n i n k n n k
k n n k
i n n
()()
()211lim lim 21lim 12
k k n n i n n i n k k k n n n k
i n n +⋅+≤+⋅≤+⋅+∞→=∞→∞→∑
()()()()()
()21lim 2121111lim lim 2111
lim 1212k
k i n n i n k k k
k n
i n n i n k
k n k k i n n k
i n n +≤+⋅≤++⋅+
≤+⋅
≤+⋅+∑∑=∞→∞→=∞→∞→ 所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：
()2
1k
k +。