不定积分换元法例题【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰ （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰ （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰ （5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

__________________________________________________________________________________________【第一换元法例题】1、9999(57)(57)(5711(57)(57)55)(57)dx d x d x dx x x x x +=+⋅=+⋅=+⋅++⎰⎰⎰⎰110091(57)(57)(57)10111(57)5550d C x x x x C =⋅=⋅+=+++++⎰ 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5x d x dx dx d x +=+==+⇒⇒2、1ln ln ln ln dx d x xx dx x x x =⋅=⋅⎰⎰⎰ 221(l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =⋅=+=+⎰【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x===⇒⇒3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x xxx --====⎰⎰⎰⎰⎰cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+⎰【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-⇒⇒ 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d xx x x===⎰⎰⎰⎰sin ln |si ln |sin |n |sin xx d C x C x==+=+⎰【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==⇒=⇒ 4（1）1()11d dx a x a x a d x x a x =⋅=⋅++++⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a xC ++=⋅=+=+++⎰ 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+⇒⇒ 4（2）1()11d dx x a x x x d a a x a =⋅=⋅----⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x aC --=⋅=+=--+⎰ 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-⇒⇒ 4（3）22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ⎛⎫- ⎪--+⎝⎛⎫=-+⎭==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()11ln ||ln ||ln22x ax a x a C C a a x a-=--++=++5（1）2sec ()sec tan sec sec tan sec tan sec sec tan x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ tan sec tan sec sec ()()ln |sec tan |se tan c tan d x x x x x xd x x C x x +===+++++⎰⎰5（2）2221cos sec cos c cos sin os cos 1sin x xdx dx dx x xx dx d x x x ====-⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin si 1111sin 111sin ln ln 1n sin 2112sin 121s sin sin in d x x x x x x d C C x xx --⎛⎫==-⋅=+=+ ⎪--+++⎝⎭⎰⎰6（1）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ ()()ln |csc cot |csc c cot csc csc cot csc o ot t c d d x x x x x xx x C x x --+=-==+-+++⎰⎰6（2）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x==⋅----⎰⎰⎰ ()(cot csc csc co )ln |csc t csc co cot |c t sc cot d x x x x d x x xx x C x -+-=---==+⎰⎰7（1）arcsin x C ==+⎰7（2）arcsind xC ax d x =====+⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎰⎰8（1）221arctan 11dx dx x C x x==+++⎰⎰ 8（2）222222221111arctan 111d dx x dx C a x a x a a ax x x d dx x a x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪=====+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎝⎭⎛⎫ ⎪+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰，（0a >）9（1）352525s sin cos sin cos sin i c s o c n o s xd x xdx x x x x x d x =⋅-⋅=⎰⎰⎰862575cos cos (1cos )cos cos (cos cos )cos 86x xx x d x x x d x C =--⋅⋅=-⋅=-+⎰⎰9（2）353434c sin cos sin cos sin cos os sin x x xdx x x x dx d x x =⋅=⋅⎰⎰⎰468322357sin sin sin sin (1sin )sin (sin 2sin sin )sin 438x x xx x d x x x x d x C =-⋅=-+⋅=-++⎰⎰10（1）1ln 111l l n ln ln l ln n n ln dx d x C x x x x dx d x x x x =⋅=⋅=⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰ 10（2）222211111ln ln ln ln ln n ln l dx d C x x x x d x xx x d x x ⋅=⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰ 11（1）242424222222()arctan(21)222)121122(xdx d x C x x x x x x x x dx x dx ====+++++++++++⎰⎰⎰⎰11（2）2242422422121()2521112252524()xdx d x xdx d x x x x x x x x +===++++++++⎰⎰⎰⎰2222222121(1)111arctan()8442111122x d d x x C x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 12、s 22sin dx dx dx =⋅=⋅=⎰⎰⎰2C C ==-=-⎰13、222211222122x x xx e dx e d x d e x C e ===+⎰⎰⎰14、 43333co sin sin cos sin sin s sin i 4sin s n xx xdx x x d C dx x x x d x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰15、100(25)x dx +⎰10010010011(25)(25)2(25)(25)(25)2dx d x x x x d x =+⋅=+++⋅+⋅=⎰⎰⎰1001100111(25)(25)(25)101111(25)22202x x x d C x C =⋅=⋅+=+++++⎰16、2222222111sin sin s 2in sin cos 22x x x x x dx x xdx dx x d C =⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰17、ln 1ln dx d d x x x ===3122ln ln (1ln )(1ln )2(1ln )2(1ln )3d x d xd x d x x x C =-=+-+=+-++18、arctan arctan arctan arc arct 2tan 2an arcta 11arct 1n an x x x xx e dx e e e d e C x dx d x xx +=⋅=⋅=⋅=++⎰⎰⎰⎰ 19、22(1)x d xd dx x ===--2(1)d x C-=-=20、si n cosx dx d x=-=3221cos cos2cosx Cx d x--=-=+⎰21、111()ln(22222)2xxx xxxx x xe dx d eedx d e Ce eeee=⋅=⋅==+++++++⎰⎰⎰⎰22、23222ln lnln l1ln ln lnn3x xdx x x xx d Cxdx d xx=⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰23、C====24、2221()177112()()()22424d xdxx x x xd xdx-===-+-+-+-⎰⎰⎰1()122()2d xC Cx-==-=+25、计算⎰，22a b≠【分析】因为：22222222(sin cos)'2sin cos2cos(sin)2()sin cosa xb x a x x b x x a b x x+=+-=-所以：222222(sin cos)2()sin cosd a x b x a b x xdx+=-2222221sin cos(sin cos)2()x xdx d a x b xa b=⋅+-【解答】2222221a b==-2222221Ca b==-【不定积分的第二类换元法】 已知()()f t dt F t C =+⎰求()(())()(())'()g x dx g t d t g t t dt ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【做变换，令()x t ϕ=，再求微分】 ()()f t dt F t C ==+⎰ 【求积分】1(())F x C ϕ-=+ 【变量还原，1()t x ϕ-=】__________________________________________________________________________________________【第二换元法例题】1、22sin sin sin 2si 2n t x t t t tdt t t dt tdt =⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰2cos t t C C =-+-变量还原2（1）2211122111211t x t dt td t dt dt t t t t t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ())2ln |1|2ln |1|t t t C C =-++++变量还原2（2）22(1)(1)2(1)1111221t x t d t dt dt t t t t dt t t =--⎛⎫⋅=⋅==- ⎪⎝⎭--⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()12ln ||21ln |1t t t C C ==-+++变量还原3、343324332(1)1(1)(1)4(1)3tx t dx t t t d t t t dt =-⋅=--⋅⋅⋅-⎰⎰⎰ 746312()1274t t t t dt C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰12t C -+⎝=⎭变量还原4、222221112(1)(1)12t x t dt td dt t t t t t t =⋅=⋅=+++⎰⎰⎰⎰2arctan t t C C =+变量还原5、ln 111111111(1)11ln xx e t x t dx dt dt e t t t t t t t t t d d =========⎛⎫⋅=⋅==- ⎪+++++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰令 ln ||ln |1|ln ln 11xxx t e t e t t C C C t e========-++=+++=+变量还原6、6223236522111661(1)(61)11t x t t dt dt t t t t t dt t t d t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++==⎝⎭⎰⎰⎰⎰6(arctan )t t t C C +=-+变量还原【注】被积函数中出现了两个根式t =，其中k 为,m n 的最小公倍数。