归纳法可以证明 ,对于 n重节点可类似定义
f x0 , …, x0
f( n - 1) =
( x0 )构造差商表
( n - 1) !
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
1
0
1
0
-1
- 1 - 1 /2 1 /4
由牛顿插值多项式得 P4 ( x) = x2 - x2 - ( x - 1) +
1 x2 ( x - 1) 2 = 1 x2 ( x - 3) 2
〔责任编校 :李建明 英文校对 :徐常兰 〕
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再由待定系数求解. 本题可以看成是拉格朗日插值
再附加 x = 0, x1 = 1 的导数值而得.
先求得满足 f ( 0) = 0 , f ( 1) = 1, f ( 2 ) = 1 的拉
格朗日插值多项式
P2 ( x - 1)
=-
1 x2 2
+
3 2
x, 再设
P4 ( x) = P2 ( x) + (A x +B ) ( x - 0) ( x - 1) ( x - 2) , 则
4
4
注 :对差商运算熟悉后 ,这种方法最为简洁.
3 应用
例 2 构造插值多项式 ,使之满足 f ( 0) = 2 ,
f ( 1) = 1, f ( 2) = 2, f′( 0) = - 2, f′( 1) = - 1,
f ′( 0) = - 10 (见文献 [ 3 ]中 )我们用方法五 , 构造差
商表如下 :
The con struct of abnorma l Herm it in terpola ting m ethod
YANG Hong - qiang (M athematics and Computor Department, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China) Abstract: Interpolating methods have app lied broadly, while the construction of abnormal Herm ite interpolating method has not a better conclusion. For a better understanding of it, the paper gives five methods in different angles and expands the solutions of the confer2 ences. Key words: herm it interpolating; interpolating methods; interpolation.
方法二 :直接构造插值基函数. 记 x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2. 设 P4 ( x) = y0 I0 ( x) + y1 I1 ( x) + y2 I2 ( x) + y0 β′0 ( x) + y1 β′1′( x). s
其中 , Ii ( x) 、βj ( x) ( i = 0, 1, 2, j = 0, 1)均为次数不 超过 4的多项式 ,且满足条件
(x
-
2)
,β1
(x)
=
-
x2
( x - 1)
(x -
2). 计算得
P4
( x)
=
1 x2 4
(x -
3) 2.
注 1:本题思想是借鉴拉格朗日插值函数的构
造方法而得. 对于非标准 Herm ite插值的构造 ,具有
普遍意义.
注 2:对于本题中的条件 f ( 0) = f′( 0) = 0, 在实
际求解过程中可以不求出
I0
( x)
,
β 0
( x)来从而简化
运算.
方法三 :先求出 Herm ite插值 ,然后由待定系数
构造.
本题可以认为是一个三次 Herm ite插值再加上
条件复合而得. 故可以认为由三次 Herm ite 插值扩
展而得.
先做满足 f ( 0 ) = f′( 0 ) = 0, f ( 1 ) = f′1 ) = 1 的
函数值
导数值
x0
x1
x2
x0
x1
I0 ( x)
1
0
0
0
0
I1 ( x)
0
1
0
0
0
I1 ( x)
0
0
1
0
0
β0 ( x)
0
0
0
1
0
β1 ( x)
0
0
0
0
1
s由上表可知 ,
l0 ( x) = ( ax + b) ( x - 1) 2 ( x - 2) ,
I1 ( x) = ( cx + d) x2 ( x - 2) , I2 ( x) = ex2 ( x - 1) 2 ,
x1
由导数定义可知 , lim x →x 0
f ( x) - f ( x0 ) x →x0
=
f′( x0 ) ,定义差商 f x0 , x0
= lim x →x 0
f ( x) - f ( x0 ) x →x0
,则
f x0 , x0 = f′( x0 ) , 同理 f x1 , x1 = f′( x1 ) (由数学
0
2
0
2 -2
0
2 -2 -5
1
1 -1 1
6
1
1 -1 0 -1 -7
2
2
1
2
1
14
则 P5 ( x) = 2 - 2x - 5x2 + 6x3 - 7x3 ( x - 1) + 4x3 ( x - 1) 2 = 4x5 - 15x4 + 17x3 - 5x2 - 2x + 2
例 3 构造插值多项式 , 使之满足 f ( 1 ) = 2, f ( 2) = 4, f ( 3) = 12, f′( 2) = 3 . (见文献 [ 3 ]中 )可以 用方法四 、五求解.
该问题带有导数 ,但在节点 x = 2未给出导数值 ,
属于非标准的带导数插值 ,我们称之为非标准的 Her2 m ite插值 ,对于这类问题并没有给出统一的解法 ,下面
我们可以通过五种途径来解决它.
2 解法
方法一 :构造四次多项式 P4 ( x) ,并通过解方程组 来求解. 在文献 [1]中已给出解答.
P4 (x)满足
P2 (x)的插值条件 ,再由条件
P′4 ( 0)
=
3 2
&#=
1 2
-
(A
+B )
= 1可得
A
=
1 4
,
B
=
-
3 4
, 因此
P4 ( x)
=
-
1 x2 ( x - 3) 2. 4
注 :该方法对于导数条件多的待定系数的方程
组的运算较为复杂 , 但对于拉格朗日插值附加一个
β 0
( x)
=Ax (x -
1) 2
(x -
2) ,β1 ( x)
=B x2
(x -
2).
解出待定系数代入可得
I0 ( x) =
-
5 4
x
-
1 2
, I1 ( x)
= x2 ( x - 2) 2 ,
I2 ( x)
=
1 ( x) 2 ( x - 1) 2 , 4
β 0
( x)
=-
1 2
x
(x
-
1) 2
1 问题提出 插值法是应用广泛的一种方法 ,对于要求函数
有微商值的常用三次 Herm ite插值来解决 ,在文献
中也给出构造方法 ,它要求在给定节点上取函数值 ,
并且取导数值. 而如下问题
例 1构造插值多项式 ,使之满足 f (0) = f′(0) = 0, f (1) = f′(1) = 1, f (2) = 1.
摘 要 :插值法有广泛的应用 ,而非标准 Herm ite插值的构造尚无更好的结论. 为了对这一问题进一步了解 ,对文献所提问题
从不同角度出发 ,得到了五种有效方法 ,大大拓展了文献中的解法.
关键词 : Herm ite插值 ;插值 ;差商 中图分类号 : O174. 42 文献标识码 : A 文章编号 : 1673 - 2065 (2007) 01 - 0055 - 02
5 6 衡水学院学报 第 9卷
P4 ( x)
= x2 ( 2 -
x)
+
1 x2 ( x 4
1) 2
=
1 x2 ( x 4
3) 2
注 :本方法对 Herm ite 插值附加一个函数值的
情况易于计算.
方法四 :先求牛顿型或拉格朗日型插值多项式 ,
Herm ite插值多项式 H3 ( x) ,由文献 [ 2 ]中所给公式 可计算出 H3 ( x) = x2 ( 2 - x) ,再设 P4 ( x) = H3 ( x) + A x2 ,则 P4 ( x)满足 H3 ( x) 的插值条件 ,再由 P4 ( 2) =
H3 ( 2)
+ 4A = 1, 而
参考文献 :
[ 1 ] 华中理工大学数学系. 计算方法 [M ]. 北京 :高等教育 出版社 ,施普林格出版社. 1999: 59.