多马模型的结论与意义
从凯恩斯的理论框架开始,但避免了凯恩斯投资率 不会增加资本存量规模的假定(短期分析),从而 变成了长期理论. 该模型产生了一种均衡条件,它意味着经济增长的 不变比率. 模型提出储蓄或资本的形成是经济增长的决定性变 量,一个经济的增长能力依赖于一个经济的储蓄能 力,政府可以通过调节储蓄水平,刺激资本积累来 实现经济的长期增长.
微分方程在经济学中的应用
授课对象:经济学专业,国际贸易专业,财务管理专业 授课学时:2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程
(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用
授课教师: 张丽莉
一,多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型
多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设
全社会只生产一种产品,可以是消费品,也可以是 投资品; 储蓄是国民收入的函数; 生产过程中只用两种生产要素,即劳动力和资本, 这两种要素之间相互不能替代; 劳动力按照一个固定不变的比率增长; 不存在技术进步,也不存在资本折旧问题; 生产规模报酬不变.
设S(t)为 t 时刻的储蓄,I(t)为t时刻的投资,Y(t)为t 时刻的国民收入,多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型:
Y = F ( K , L) dK = sY (t ) dt L = L0 e λ t
(2)
L λ 其中s为储蓄率(s>0), 为劳动力增长率 (λ > 0), 0 为 初始劳动力 ( L0 > 0) , F ( K , L) 为K和L的一次齐次函数, 称为生产函数.
由(2)的前两式,可得
S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0
(1)
Y β Y0 其中α , 均为正的常数,为初期国民收入,0 > 0 .
第一个方程表示储蓄与国民收入成正比 (α 称为储蓄率), 第二个方程表示投资与国民收入的变化率成 正比(β 称为加速数), 第三个方程表示储蓄等于投资. 由(1)中前三个方程消去S(t)和I(t),可得关 于Y(t)的微分方程:
索洛经济增长模型的一些结论与意义
增长必须用人均数据(output per capita)来衡量, 强调技术进步时人均收入增长的源泉. 所有增长最终可以归结到两种途径:资本(物质和 人力)积累和技术进步. 重新假定生产要素(资本与劳动)具有相互替代性, 使资本—产出比由固定不变成为可变. 强调市场机制在经济增长过程中的作用.无论经济 处于什么样的初始状态,市场机制只要是完全的, 就可以选择合适的资本—产出比,保证充分就业.
dY α = λY , λ = > 0 dt β
可分离变量方程
形如
f ( x) dx = g ( y ) dy
的一阶微分方程,称为可分离变量方程 . 将方程两端分别对x和y积分,得到
∫ f ( x)dx = ∫ g ( y ) dy + C
其中C为任意常数.
α dY 方程 = λY , λ = > 0是可分离变量方程 dt β
如果 K (0) = K 0 , 则由上式有
K 0 1α s s 1α c = ( ) A = k0 A L0 λ λ
于是有 K = K (t ) = [a + be
1 (1α ) λ t 1α
]
其中设 1α s 1α a = k 0 λ A L0 b = s AL1α 0 λ
多马经济增长模型的缺陷
资本产量比不变的假定意味着资本和劳动力 根本不能替代,这一假定是不现实的. 该模型过于强调储蓄和资本积累的作用,从 而将经济增长推向"唯资本论"的方向. 没有考虑到技术进步在经济发展中的作用. 政府干预的结论带有浓厚的凯恩斯主义的色 彩,而对市场机制的作用有所忽视.
二,索洛(Solow, R. M.)经济增长模型
的方程,称为伯努利方程(它是由James Bernoulli在1695年提出的),可以化成一阶线 性方程来求解,其中n为常数.
将方程两端除以 y n,得到
y
n
dy + p( x ) y 1 n = q ( x ) dx
( 4)
令
y 1 n = z ,
有
n
(1 n) y
dy dz = dx dx
即 两端积分得到 ln Y = λt + c1 其通解为 Y = ce λ t , c是任意的常数. 由初始条件 Y (0) = Y0 ,得 c = Y0
λt 于是有 Y = Y (t ) = Y0 e
.
1 dY = λ dt Y
由此可得: S (t ) = I (t ) = αY (t ) = α Y0 e λt 由 λ > 0 可知, Y (t ) , S (t ) , I (t ) 均为时间 t 的单调增加 函数,即它们都是不断增长的.
dK K = sF ( K , L) = sLF ( , 1) dt L
令k =
K ――称为资本劳动力比, L
表示单位劳动力平均占有的资本.
将
dL = λL , 可得 K = kL 代入上式并利用 dt dk + λk = sF (k , 1) (3) dt
为了求出方程(3)的解,需给出生产函数 F ( K , L ) 的具体形式. 为此,下面取生产函数 柯布―道格拉斯(C0bb - Douglas) 生产函数,即设
( 5)
将(5)代入(4),得到
dz + (1 n) p ( x) z = (1 n)q ( x) dx
y 1 n = z 这是一阶线性方程,可以求解.求出后再用
代回,即得伯努利方程的解.
dk α + λk = sAk dt
这是以 k = k (t ) 为未知函数的伯努利方程.
令z=k
1α
,则
索洛模型的缺陷
模型中假定资本与劳动力可以任意替代,以 便生产要素可以充分利用,实现均衡增长, 是不符合实际的. 缺乏政策指导意义. 认为技术进步是经济增长的决定因素,却有 假定技术进步是外生变量,结果使得新古典 模型对一些重要的增长事实无法解释.
�
dz + (1 α )λz = (1 α ) sA dt
这是关于z 的一阶线性方程,其通解为 将 z = k 1) λ t λ K 1α 代入上式,得 =( ) L
+ ce
(α 1) λ t
sA
=[
sA
λ
]L
1α
=
s
λ
AL10α e (1α ) λ t + cL10α
F ( K , L) = AK α L1α = ALk α
其中 A > 0 , 0 < α < 1均为常数. 易知 F (k , 1) = Ak α , 将其代入(3)得 dk + λk = sAk α dt
伯努利(Bernoulli)方程
形如
dy n + p( x) y = q( x) y dx
索洛模型假设: 索洛模型假设: 该模型假设储蓄全部转化为投资,即储蓄-投 资转化率假设为1; 投资的规模收益是常数; 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假 设,采用了资本和劳动可替代的新古典科布道格拉斯生产函数.
设Y(t)为t时刻的国民收入,K(t)为t时刻的资 本存量,L(t)为t时刻的劳动力,索洛曾提出 如下的经济增长模型: