A
DN
C
MO
B 11．已知：BC 是圆上的定弦，而动点 A 在圆上运动，M 是 AC 中点，作 MP⊥
AB 于 P。求 P 点的轨迹。（10081601-4.gsp）
A
P M
O
B
C
12．△ABC 外接圆为圆 O，P 为 AB 上一点，过 P 分别作 OA、OB 的垂线，与 AC、BC 交于 S、T，与 AB 交于 M、N。求证：PM=MS 的充要条件是 PN=NT。 （10081601-3.gsp）
高中平面几何
学习要点
几何问题的转化
叶中豪
圆幂与根轴
P’tolemy 定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
完全四边形与 Miquel 点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极，调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1 ． 四 边 形 ABCD 中 ， AB=BC ， DE ⊥ AB ， CD ⊥ BC ， EF ⊥ BC ， 且
B
6．四边形 ABCD 中，M 是 AB 边中点，且 MC=MD，过 C、D 分别作 BC、AD 的垂线，两条垂线交于 P 点，再作 PQ⊥AB 于 Q。求证：∠PQC=∠PQD。 （10081601-26.gsp）
D C
P
A
MQ
B
7．已知 RT△ABD∽RT△ADC，M 是 BC 中点，AD 与 BC 交于 E，自 C 作 AM 垂线交 AD 于 F。求证：DE=EF。（10083001.gsp）
A
D
B
C
T
P
E
17．已知△ABC 中，心 I 关于 BC 边中点 M 的对称点为 I'，S 是 BC 弧（不含 A 点）中点，直线 SI'交△ABC 的外接圆于另一点 P。求证：P 点到△ABC 较 远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）
A
P
I
B
M
C
I'
S 18．在△ABC 外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结 AD、BE、CF。
A
F
ME
B
C
D
8．在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边的中点，E 是△ABC 外一点，满足 CE⊥ AB，BE=BD。过线段 BE 的中点 M 作直线 MF⊥BE，交△ABD 的外接圆 的劣弧 AD 于点 F。求证：ED⊥DF。（2010 年女子竞赛）（10081601-4.gsp）
A
F
E
M
P
B
N
M
A
T
S
O
C
13．在ΔABC 中 AC＞BC，F 是 AB 的中点，过 F 作它的外接圆直径 DE，使得
C、E 在 AB 同一侧，又过 C 做 AB 的平行线交 DE 于 L。 求证 ：(AC+BC) 2＝4DL×EF。 （09011003.gsp）
D C
L
O
F
A
B
E
14．已知：P 是垂直 ABC 外接圆 BC 弧上任意一点，PD⊥BC 于 D，PE⊥CA 于 E，PF⊥AB 于 F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）
P
G EA
B
C
D
F
5．圆 O1 和圆 O2 相交于 A、B 两点，P 是直线 AB 上一点，过 P 作两圆作切线， 分别切圆 O1 和圆 O2 于点 C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆 O1 和圆 O2 于点 E，F。求证：AB、CE、DF 共点。（10092201.gsp）
P
F E
D
C
A
O1
O2
A
P Q
O O'
B
3．设三角形 ABC 的 Fermat 点为 R，连结 AR，BR，CR，三角形 ABR，BCR， ACR 的九点圆心分别为 D，E，F，则三角形 DEF 为正三角形。（10082602.gsp）
A
E
D
R
F
B
C
4．在△ABC 中，已知∠A 的角平分线和外角平分线分别交外接圆于 D、E，点 A 关于 D、E 的对称点分别为 F、G，△ADG 和△AEF 的外接圆交于 A 和 另一点 P。求证：AP//BC。（10092102.gsp）
A
H
I
E
F
O
B
K
G
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L
20．一小圆切大圆于点 N，BA、BC 是大圆的两条弦，且分别切小圆于 K、M， 劣弧 AB 和劣弧 BC 的中点分别为 Q、P，又设△BQK、△BPM 外接圆的另 一个交点为 B1。求证：BPB1Q 为平行四边形。（10082001-1.gsp）
B
P Q
M K B1
A
F
D
C
B
E
P
15．已知 O 是△ABC 的外心，M 是 BC 边中点，D 是 OM 延长线上一点，满足 DO=DB，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求 证：AD⊥EF。（10080302.gsp）
A
O
E
F
B C
M
D
16．已知△ABC 中，AB＝AC，线段 AB 上有一点 D，线段 AC 延长线上有一点 E，使得 DE＝AB。线段 DE 与△ABC 的外接圆交于点 T，P 是线段 AT 延 长线上的一点。求证：点 P 满足 PD＋PE＝AT 的充要条件是 P 在△ADE 的 外接圆上。（2000 年国家集训队）（10082201-1.gsp）
B
D
C
9．设圆 I1 是△ABC 的 BC 边外的旁切圆，D、E、F 分别是切点，若 I1D 与 EF 交于 P 点。求证：AP 平分底边 BC。（10082001-8.gsp）
A
B DM
F
C
P E
I1
10．如图，⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D，切边 AC 于点 C，M 是边 BC 上一
点，AM 交 CD 于点 N．求证：M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC。 （09031302.gsp）
sin tan 1 。求证：2EF=DE+DC。（10081902.gsp）
sin
2
A
θ
E
D
γ
B
F
C
2．已知相交两圆 O 和 O'交于 A、B 两点，且 O'恰在圆 O 上，P 为圆 O 的 AO'B 弧段上任意一点。∠APB 的平分线交圆 O'于 Q 点。求证：PQ2=PA×PB。 （10092401-1. gsp）
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp）
A F
E
B
C
D
19．过△ABC 一点 O 引三边 AB、BC、CA 的平行线与其它两边的交点分别为 E、F、G、H、I、K，过 O 作△ABC 的外接圆的弦 AL。 求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp）