第一章习题答案略第二章习题答案2.1(1)非平稳(2)0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376(3)典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2(1)非平稳,时序图如下(2)-(3)样本自相关系数及自相关图如下:典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图2.3(1)自相关系数为:0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118(2)平稳序列(3)白噪声序列2.4,序列LB=4.83,LB统计量对应的分位点为0.9634,P值为0.0363。
显著性水平=0.05不能视为纯随机序列。
2.5(1)时序图与样本自相关图如下(2) 非平稳 (3)非纯随机 2.6(1)平稳,非纯随机序列(拟合模型参考:ARMA(1,2)) (2)差分序列平稳,非纯随机第三章习题答案3.1 ()0t E x =,21() 1.9610.7t Var x ==-,220.70.49ρ==,220φ= 3.2 1715φ=,2115φ=3.3 ()0t E x =,10.15() 1.98(10.15)(10.80.15)(10.80.15)t Var x +==--+++10.80.7010.15ρ==+,210.80.150.41ρρ=-=,3210.80.150.22ρρρ=-=1110.70φρ==,2220.15φφ==-,330φ=3.4 10c -<<, 1121,1,2k k k c c k ρρρρ--⎧=⎪-⎨⎪=+≥⎩3.5 证明:该序列的特征方程为:32--c 0c λλλ+=,解该特征方程得三个特征根:11λ=,2c λ=3c λ=-无论c 取什么值,该方程都有一个特征根在单位圆上,所以该序列一定是非平稳序列。
证毕。
3.6 (1)错 (2)错 (3)对 (4)错 (5)3.7 该模型有两种可能的表达式:112t t t x εε-=-和12t t t x εε-=-。
3.8 将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为()2323223310.82010.510.8(10.50.50.5)t ttB CB x BB CB B B B εε-+-=-=-+++++展开等号右边的多项式,整理为22334423243410.50.50.50.50.80.80.50.80.50.5B B B B B B B CB CB +++++--⨯-⨯-+++合并同类项,原模型等价表达为233020[10.50.550.5(0.50.4)]k k t t k x B B C B ε∞+=-=+-+-+∑当30.50.40C -+=时,该模型为(2)MA 模型,解出0.275C =。
3.9 ()0t E x =,22()10.70.4 1.65t Var x =++=10.70.70.40.591.65ρ--⨯==-,20.40.241.65ρ==,0,3k k ρ=≥3.10 (1)证明:因为22()lim(1)t k Var x kC εσ→∞=+=∞,所以该序列为非平稳序列。
(2)11(1)t t t t t y x x C εε--=-=+-,该序列均值、方差为常数,()0t E y =,22()1(1)t Var y C εσ⎡⎤=+-⎣⎦自相关系数只与时间间隔长度有关,与起始时间无关121,0,21(1)k C k C ρρ-==≥+-所以该差分序列为平稳序列。
3.11 (1)非平稳,(2)平稳,(3)可逆,(4)不可逆,(5)平稳可逆,(6)不平稳不可逆3.12 01G =,11010.60.30.3G G φθ=-=-=,1111110.30.6,2k k k k G G G k φφ---===⨯≥所以该模型可以等价表示为:100.30.6kt t t k k x εε∞--==+⨯∑3.13 0123121110.25φμφφ===---+3.14 证明:已知112φ=,114θ=,根据(1,1)ARMA 模型Green 函数的递推公式得:01G =,2110110.50.25G G φθφ=-=-=,1111111,2k k k k G G G k φφφ-+-===≥01ρ=52232111112245011111142422(1)11112011170.27126111j jj j j j jj j G GGφφφφφφφφρφφφφφ∞∞++==∞∞+==++--+======-+++-∑∑∑∑ ()11111122200,2jj kjj k jj k j j j k k jjjj j j G G G GG Gk GGGφρφφρ∞∞∞++-+-===-∞∞∞=======≥∑∑∑∑∑∑3.15 (1)成立 (2)成立 (3)成立 (4)不成立3.16 (1)95%置信区间为(3.83,16.15)(2)更新数据后95%置信区间为(3.91,16.18)3.17 (1)平稳非白噪声序列 (2)AR(1)(3) 5年预测结果如下:3.18 (1)平稳非白噪声序列 (2)AR(1)(3) 5年预测结果如下:3.19 (1)平稳非白噪声序列 (2)MA(1)(3) 下一年95%的置信区间为(80.41,90.96)3.20 (1)平稳非白噪声序列 (2)ARMA(1,3)序列(3)拟合及5年期预测图如下:第四章习题答案 4.1 3T x -的系数为116, 1T x -的系数为5164.2 解下面的方程组,得到0.4α=5.255(1)5.26 5.5(1)t t χααααχ=+-⎧⎨=+-⎩4.3 (1)11.04 (2)11.79277 (3)0.40.240.16b a -=-=4.4 根据指数平滑的定义有(1)式成立,(1)式等号两边同乘(1)α-有(2)式成立2323(1)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)t t x t t t t x t t t αααααααααααααα=+--+--+--+-=-+--+--+(1)-(2)得22(1)(1)(1)(1)1t t x t x t t αααααααααα=-----=------=-则1lim lim 1tt t t x t t αα→∞→∞-⎛⎫- ⎪== ⎪⎪⎝⎭。
4.5 该序列为显著的线性递增序列,利用本章的知识点,可以使用线性方程或者holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测,答案不唯一,具体结果略。
4.6 该序列为显著的非线性递增序列,可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线,也能使用holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测,答案不唯一,具体结果略。
4.7 本例在混合模型结构,季节指数求法,趋势拟合方法等处均有多种可选方案,如下做法仅是可选方法之一,结果仅供参考(1)该序列有显著趋势和周期效应,时序图如下(2)该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化,所以尝试使用加法模型拟合该序列:t t t t x T S I =++。
(注:如果用乘法模型也可以)首先求季节指数(没有消除趋势,并不是最精确的季节指数)0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.116566 1.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179消除季节影响,得序列t t t y x S x =-,使用线性模型拟合该序列趋势影响(方法不唯一):97.70 1.79268t T t =-+,1,2,3,t =(注:该趋势模型截距无意义,主要是斜率有意义,反映了长期递增速率)得到残差序列t t t t t I x S x y T =-=-,残差序列基本无显著趋势和周期残留。
预测1971年奶牛的月度产量序列为()mod 12ˆ,109,110,,120t t t x T S x t =+=得到771.5021 739.517 829.4208 849.5468 914.0062 889.7989839.9249 800.4953 764.9547 772.0807 748.4289 787.3327(3)该序列使用x11方法得到的趋势拟合为趋势拟合图为4.8 这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在快速预测程序中用曲线拟合(stepar )或曲线指数平滑(expo )进行预测(trend=3)。
具体预测值略。
第五章习题5.1 拟合差分平稳序列,即随机游走模型 -1=+t t t x x ε,估计下一天的收盘价为289 5.2 拟合模型不唯一,答案仅供参考。
拟合ARIMA(1,1,0)模型,五年预测值为:5.3 12(1,1,0)(1,1,0)ARIMA ⨯5.4 (1)AR(1), (2)有异方差性。
最终拟合的模型为-12-1=7.472+=-0.5595+=11.9719+0.4127t ttt t tt tt x vv h v εεε⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 5.5(1)非平稳(2) 取对数消除方差非齐,对数序列一节差分后,拟合疏系数模型AR(1,3)所以拟合模型为ln ~((1,3),1,0)x ARIMA(3)预测结果如下:5.6 原序列方差非齐,差分序列方差非齐,对数变换后,差分序列方差齐性。
第六章习题6.1 单位根检验原理略。
例2.1 原序列不平稳,一阶差分后平稳例2.2 原序列不平稳,一阶与12步差分后平稳 例2.3 原序列带漂移项平稳 例2.4 原序列不带漂移项平稳例2.5 原序列带漂移项平稳(=0.06)α,或者显著的趋势平稳。
6.2 (1)两序列均为带漂移项平稳(2)谷物产量为带常数均值的纯随机序列,降雨量可以拟合AR (2)疏系数模型。
(3)两者之间具有协整关系(4)23.55210.775549t t =+谷物产量降雨量6.3 (1)掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征,两个序列均为非平稳序列。
但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。
即-2{-}t t y x β为平稳序列。
(2)被掠食者拟合乘积模型:5(0,1,0)(1,1,0)ARIMA ⨯,模型口径为:551=1+0.92874t tx Bε∇∇ 拟合掠食者的序列为: -2-1=2.9619+0.283994+-0.47988t t t t y x εε 未来一周的被掠食者预测序列为:Forecasts for variable xObs Forecast Std Error 95% Confidence Limits49 70.7924 49.4194 -26.0678 167.6526 50 123.8358 69.8895 -13.1452 260.8167 51 195.0984 85.5968 27.3317 362.8651 52 291.6376 98.8387 97.9173 485.3579 53 150.0496 110.5050 -66.5363 366.6355 54 63.5621 122.5322 -176.5965 303.720855 80.3352 133.4800 -181.2807 341.951156 55.5269 143.5955 -225.9151 336.969057 73.8673 153.0439 -226.0932 373.827958 75.2471 161.9420 -242.1534 392.647559 70.0053 189.8525 -302.0987 442.109460 120.4639 214.1559 -299.2739 540.201761 184.8801 235.9693 -277.6112 647.371462 275.8466 255.9302 -225.7674 777.4606掠食者预测值为:Forecasts for variable yObs Forecast Std Error 95% Confidence Limits49 32.7697 14.7279 3.9036 61.635850 40.1790 16.3381 8.1570 72.201151 42.3346 21.8052 -0.4028 85.072152 58.2993 25.9832 7.3732 109.225453 78.9707 29.5421 21.0692 136.872254 106.5963 32.7090 42.4879 170.704755 66.4836 35.5936 -3.2787 136.245856 41.9681 38.6392 -33.7634 117.699657 46.7548 41.4617 -34.5085 128.018258 39.7201 44.1038 -46.7218 126.161959 44.9342 46.5964 -46.3930 136.261460 45.3286 48.9622 -50.6356 141.292861 43.8411 56.4739 -66.8456 154.527962 58.1725 63.0975 -65.4964 181.84136.4 (1)进出口总额序列均不平稳,但对数变换后的一阶差分后序列平稳。