的动摩擦因数为μ。

现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

【分析】这是一个斜面问题。

当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。

当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。

此时是θ最大。

【解答】依题意，
mgsinθ=μmgcosθ
tgθ=μ
∴θ≤arctgμ
说明：tgθ=μ是一重要临界条件。

其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力；tg θ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；
①、将物体静止置于斜面上，如tgθ≤μ，则物体保持静止；如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。

②、将物体以一初速度置于斜面上，如tg<μ，则物体减速，最后静止；如tgθ=μ，则物体保持匀速运动；如tgθ>
F
μ，则物体做加速运动。

因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何
运动的一个条件。

练习：如图，质量为m的三角形尖劈静止于斜面上，上表面水平。

今在其上表面加一竖直向下的力F。

则物体：
A、保持静止；
B、向下匀速运动；
C、向下加速运动；
D、三种情况都要
可能。

【解答】A。

【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ<tgθ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B质量的取值范围．
【解析】以B为研究对象，由平衡条件得
T=m B g
再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状
态，即A受最大静摩擦作用，方向如图
所示，根据平衡条件有：
N=mgcosθ
T-f m-mgsinθ=0
f m=μN
或：T+f m-mgsinθ=0
f m=μN
综上所得，B的质量取值范围是：
m（sinθ-μcosθ）≤m B≤m(sinθ+μcosθ)
说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势．
【例2】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面．
【解析】以球为研究对象，如图所示。

有
N1sinθ=G
N1cosθ=N2
sinθ=(R-h)/R
再以整体为研究对象得：N2=F
即F=√h(2R-h)·G/(R-h)
说明：球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，但系统又平衡．
【例3】如图所示，重为G 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=1/√3，物体做匀速直线运动。

求牵引力F 的最小值和方向角θ。

解：物体的受力图如图。

建立坐标系，有： Fcos θ-μN=0 ①
Fsin θ+N-G=0 ②
由①、②消去N 得：
F=μG ／(cos θ+μsin θ)
令tg φ=μ，则cos θ+μsin θ=√1+μ2cos(θ-φ)
∴ F=
当θ=φ时，cos(θ-φ)取极大值1，F 有最小值。

F min = =G/2
tg φ=μ=1／√3 φ=300
∴ θ=300
点评：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。

此例中，F 的大小随θ的变化而变化，要求F 的极小值，就要根据题意求出F 随θ而变的函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F 的极值。

G
()φθμμ-+cos 12G
21μμ+G。