形体
面
Pt F
R3中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F，
其边界(记为∂F)是有限条线段的并集， Pt表示含有F的唯一平面。 面是形体表面的一部分，且具有方向性.
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形体
环
由有序、有向边组成的面的封闭边界称 为环，环中任意边都不能自交，相邻两 条边共享一个端点，环又分为内环和外 环。内环是在已知面中的内孔或凸台面 边界的环，其边按逆时针方向。外环是 已知面的最大外边界的环，其边按顺时 针方向，按这种方式定义，在面上沿着 边的方向前进，面的内部始终在走向的 右侧。
形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式； 图形数据的存储和管理； 图形控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换； 图形修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及 其交互手段实现对形体局部或整体修改； 图形分析，如形体的容差分析，物质特性分析等； 图形显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等； 询问形体的属性及其有关参数
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形体
在计算机形体一般 定义为六层拓扑结构 ，首先介绍在三维空 间中基本术语的定义 。
形体 (object) 外壳(shell)
面(face)
环(loop)
边(loop)
顶点 (vertex)
曲线和直 线方程
点的 几何坐标
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形体
y z
体
由封闭表面围成的有效空间称为体；一个形体Q是R3空间中非空、有x 界的封闭子集。其 边界（记为∂Q） 是有限个面的并集，而外壳是 形体的最大边界。一个单位立方体可定义为：
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形体
v1
边
f1 e f2 v2
形体内两个相邻面的交界称为边，一条边有且仅有两个
相邻面。两个端点确定一条边，这两个端点分别称为该
边的起点和终点。假设Q是一个形体，E(Q)是形体边的集
合，则在∂Q(形体的边界)中E(Q)满足下属条件的所有线
段的集合：
边e的两个端点属于V(Q)；
方体都能唯一地表示了。对于多
面体由于其轮廓线和棱线通常是
一致的，所以多面体的线模型更
便于识别，且简单。
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线框模型
优点：简单、处理速度快 缺点：
1、对于非平面多面体，如圆柱、球等形体， 其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用 一组固定的轮廓线来表示它们。
2、线框模型与形体之间不存在一一对应关系 ：它仅仅通过给定的轮廓线约束所表示形体 的边界面，而在轮廓线之间的地方，形体的 表面可以任意变化。
地位于物体内、物体外或面内，顶点又是∂F(面边界)中
两条不共线的线段的交点。
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形体
体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。 半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显然 一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。 几何信息 用来表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。
3、没有形体的表面信息，不适于真实感显示 ，由此导致表示的形体可能产生二义性。
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表面模型
表面模型 将形体表示成一组表面的集合

如果把线框模型中的棱线包围的部分定义为 面，所形成的模型便是表面模型。其数据结 构是在线模型的基础上附加一些指针，有序 地连接棱线。下图中表面编号表示第几个表 面，表面特征表面是平面还是曲面。
边e中没有一个内部点属于V(Q)（所有顶点的集 合）
边e上每个点，都有两个不同的面，即存在两个
面fi，fi≤∂Q使得边e∈fi∩fj；
形体Q的边框线WF(Q)是由有序对(V(Q),E(Q))所 北大计算机系多媒体与人机交互
形体
点
v1 f1 e f2
v2
边的端点称为点，点不能出现在边的内部，也不能孤立
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表示形体的两种模型
数据模型
完全以数据描述 例如
用以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、 边界表示、构造实体几何表示等 进一步分为 线框模型 表面模型 实体模型
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{(x,y,z)∈R3|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1} 其中一个表面可表示为：
{(1,y,z)∈R3|0≤y≤1,0≤z≤1} 必须注意：并没有规定形体必须是一个连续的封闭集合，目的是用 这样的定义来扩大几何造型的域，使得形体可以由不连续的体素， 或是仅有某些相交的形体组成。
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第八章 三维形体的表 示
2020年4月22日星期三
引言
三维图形在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。在CAD中，需 要对所设计的作品从不同的角度进行审视。计算机几何造型就是用 计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体。所以几何造型是 计算机图形学中一个十分重要的应用领域，它是CAD/CAM和CIMS系统 的核心技术，也是用来实现计算机辅助设计的基本手段。几何造型 的功能：
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实体模型
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信
形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
1
2
顶点 属 连接指针
表面编号 5
号性
表面特征 0
1202
起始指针 1
2303
顶点个数 4
3404
4
3
41
1
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表面模型
缺点： 不能有效的用来表示实体 原因： 1、表面模型中的所有面未必形成一个封 闭的边界 2、各个面的侧向没有明确定义，即不知 道实体位于面的哪一侧
线框模型
v2
e2
v1
s1
s4
e1
e3v3 e10 s5
e4 e9 v
线框模型：将形体表示成 一组轮廓线的集合。
v6e7s2e11e6 s6
v5 e8
e2e1 s
一般地，画出了形体的棱线
v7
v
与轮廓线就能唯一地表示出来。
如图，八个顶点可以定义一个长
方体，但还不足以识别它，如果
定义了棱线，则无论如何放置长