俯视图正(主)视图 侧(左)视图数学理卷·2020届新课标高三模拟考试（三）（2020.05）第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅2．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则 （ ） A ．11a b =-=， B ．11a b =-=-，C ．11a b ==-，D ．11a b ==，3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424SS =，则64S S 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．4 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ．2 B ．1 C ．23D ．135．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内 投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ） A ．24π B ．34πC ．22π D ．32π 6．已知条件p ：不等式210x mx ++>的解集为R ；条件q ：指数函数()(3)xf x m =+为增函数．则p 是q 的（ ）F EPGOQA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为 （ ）A ．24B ．25C ．4D ．78．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题： ①函数y f x =()是周期函数； ②函数f x ()在0 2[，]是减函数；③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点．其中真命题的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 9．如图所示的方格纸中有定点 O P QEFGH ,,,,,,，则OP OQ +=u u u r u u u r （ ） A ．OH u u u u rB ．OG u u u rC ．FO u u u rD ．EO u u u r10．设22)1(则,305满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+- 的最大值为 （ ）A ． 80B ． 45C ． 25D ．17211．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。

x-1 0 4 5 f x ()12211-xoy245其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e x g x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则（ ）A ．0m <B ．0m =C ．01m <<D ．1m >第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共1613．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是 假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量 2224 1p a b c q S =+-=u r u u r ()()，，，满足//p q u r r ，则C ∠= ．15．已知a 的系数是 ． （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←16．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0．5元运输费，则最少需要的运费是 ；三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数cos sin 2424x x f x x ππ=++-+π()()()()．（Ⅰ）求f x ()的最小正周期； （Ⅱ）若将f x ()的图象向右平移6π个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2020年8月12日至23日在深圳举行，为了搞10040020一号 二号 三号 四号 五号好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）： 男 女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ∠=︒，BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，//FC EA ，431AC EA FC ===，，． （Ⅰ）证明：EM BF ⊥；（Ⅱ）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知数列}2{1n n a •-的前n 项和96n S n =-．（Ⅰ） 求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设2(3log )3n n a b n =⋅-，求数列｛1n b ｝的前n 项和．21．（本小题满分12分）已知点F 是椭圆222101x y a a +=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=u u u u r u u u r ．若点P 满足2OM ON PO =+u u u u r u u u r u u u r ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；A B C E F M O •（Ⅱ）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =- 分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅u u u r u u u r是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．22．（本小题满分14分）已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （Ⅰ）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；（Ⅲ）求证：1111ln 135721n n +>+++++L ()n ∈*N ()．参考答案一、选择题1、D ；2、C ；3、A ；4、C ；5、B ；6、A ；7、A ；8、D ；9、C ；10、A ；11、D ；12、B ；二、填空题13、(,3)(1,)-∞-+∞U ； 14、4π；15、192-； 16、500元。

三、解答题17．解析：（Ⅰ）x x x f sin )2sin(3)(++=πx x sin cos 3+=…………………2分)cos 23sin 21(2x x +=)3sin(2π+=x ．……………………………4分所以)(x f 的最小正周期为π2．………………………………………6分（Ⅱ）Θ将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=3)6(sin 2)6()(πππx x f x g )6sin(2π+=x ．…………………8分 [0,]x π∈Q 时，]67,6[6πππ∈+x ， …………………………………………………9分 ∴当26ππ=+x ，即3π=x 时，sin()16x π+=，)(x g 取得最大值2． …………10分当766x ππ+=，即x π=时，1sin()62x π+=-，)(x g 取得最小值1-．………12分18．解析：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， …………………………2分所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=． ………………………………5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． ……………………………6分 （Ⅱ）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ……………………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ．………………………9分 因此，ξ的分布列如下：ξ 0123p55145528 5512 551 ………………10分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………………12分19．解析：（法一）（Ⅰ）⊥EA Θ平面ABC ，⊂BM 平面ABC ， BM EA ⊥∴．……………………………………………………1分 又AC ，BM ⊥ΘA AC EA =⋂， ⊥∴BM 平面ACFE ， 而⊂EM 平面ACFE ，EM BM ⊥∴．……………………………………………………………………………3分AC Q 是圆O 的直径，90ABC ∴∠=o ．又，BAC ︒=∠30Θ4=AC ，，，BC AB 232==∴1,3==CM AM ．⊥EA Θ平面ABC ，EA FC //，1=FC ， ⊥∴FC 平面ABCD ．∴EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形． ︒=∠=∠∴45FMC EMA ．︒=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．………………………………5分M BM MF =⋂Θ， ⊥∴EM 平面MBF ．而⊂BF 平面MBF ，⊥∴EM BF ．………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）延长EF 交AC 于G ，连BG ，过C 作CH BG ⊥，连结FH ． 由（1）知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ， FC BG ∴⊥．而FC CH C ⋂=，BG ∴⊥平面FCH ． FH ⊂Q 平面FCH ， FH BG ∴⊥，FHC ∴∠为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． ……………………8分在ABC Rt ∆中，Θ︒=∠30BAC ，4=AC ，330sin =⋅=∴οAB BM ．由13FC GC EA GA ==，得2GC =． 3222=+=MG BM BG Θ．又GBM GCH ∆∆~Θ，BM CH BG GC =∴，则13232=⨯=⋅=BG BM GC CH ． ………………………………11分FCH ∴∆是等腰直角三角形，ο45=∠FHC ．HGA BC EF M O •∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22． ………………………12分（法二）（Ⅰ）同法一，得33==BM AM ，． (3)分如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系．由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0),(0,4,1)A M E B F ，(0,3,3),(3,1,1)ME BF ∴=-=-u u u r u u u r．………4分由(0,3,3)(3,1,1)0ME BF ⋅=-⋅-=u u u r u u u r，得BF MF ⊥， BF EM ⊥∴．…………6分 （Ⅱ）由（1）知(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-u u u r u u u r．设平面BEF 的法向量为),,(z y x n =，由0,0,n BE n BF ⋅=⋅=r u u u r r u u u r 得333030x y z x y z ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩，令3=x 得1,2y z ==，()3,1,2n ∴=r， ………………9分由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =u u u r，设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则3010232cos cos ,2322n AE θ→⨯+⨯+⨯=<>==⨯r ， …………………………11分 ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22． ……………………12分20．解析：（Ⅰ）1n =时，011123,3a S a ⋅==∴=; ……………………………………2分11232,26,2n n n n n n n a S S a ----≥⋅=-=-∴=时．………………………………………4分 xyzA BC EFMO •23(1)3(2)2n n n a n -=⎧⎪∴=⎨-≥⎪⎩通项公式 ……………………………………………6分（Ⅱ） 设1n nn T b 的前项和为， 当1n =时，1211113log 13,3b T b =-=∴==；…………………………………7分 2n ≥时，223(3log )(1)32n n b n n n -=⋅-=⋅+⋅，∴1n b 1(1)n n =+ ……………10分 ∴n T =1211111132334n b b b +++=++++⨯⨯L L 1(1)n n +＝5161n -+……………12分21．解析：（Ⅰ）Θ椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-u u u r．[............[............[ (1)分(,)MN m n =-u u u u rQ ，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ． …………………3分设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． …………………………5分 （Ⅱ）（法一）设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． ………………………………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==ax x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --． (8)分214(2,)a FS a y ∴=--u u u r ，224(2,)a FT a y =--u u u r ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u r u u u r ． (9)分 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……………………10分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………11分因此，FS FT ⋅u u u r u u u r的值是定值，且定值为0． ……………………………12分（法二）①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--u u u r ．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-u u u r ． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r． …………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u r u u u r ． ………………………9分 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………10分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………11分因此，FS FT ⋅u u u r u u u r的值是定值，且定值为0． ………………………12分22．解析：（Ⅰ）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ，令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分 Θ当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数1()(0,)2f x 在、(2,)+∞上单调递增，在1(,2)2上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ． Θ当0+→x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f ，∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．………5分 （Ⅱ）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h Θ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………7分 ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ；②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分 （Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k n k k k k 111211ln ． ……………12分 ∑=+=+n k kk n 11ln)1ln(Θ， 1215131)1ln(++++>+∴n n Λ． …………………………14分 （法二）当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>Q ，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ……………………10分 设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++L ． 1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++L ． 根据（Ⅱ）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ， 即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++L ， 即1n k =+时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151⨯+++⨯+⨯n Λ ⎰+<n dx x 1121．……11分 )12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x n n Θ ]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n ， ∴121715131+++++n Λ)12151(31++++=n Λ⎰++<n dx x 112131 ]3ln )12[ln(2131-++=n ． ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+=Q 223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++， 又3ln 332<<Θ，)12ln()12ln(2++<+n n n ， )1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ． )1ln(1215131+<++++∴n n Λ．。