数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020第十二章 数 项 级 数目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.第一节 级数的收敛性一 级数的概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如+++++n 2121212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义；若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0；若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么.1 级数的概念定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式+++++n u u u u 321 （1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项.级数（1）简记为：∑∞=1n n u ，或∑n u .2 级数的部分和n n k k n u u u u S +++==∑= 211称之为级数∑∞=1n n u 的第n 个部分和，简称部分和.3 级数的收敛性定义2 若数项级数∑∞=1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数∑∞=1n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞=1n n u 的和，记作=S ∑∞=1n n u = +++++n u u u u 321.若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞=1n n u 发散.例1 试讨论等比级数（几何级数）∑∞=--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a的收敛性.解：见P2.例2 讨论级数 ++++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n的收敛性.解：见P2.二 收敛级数的性质1 级数与数列的联系由于级数∑∞=1n n u 的敛散性是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而也可以认为数项级数∑∞=1n n u 是数列{}n S 的另一表现形式.反之，对于任意的数列{}n a ，总可视其为数项级数∑∞=1n n u+-++-+-+=-)()()(123121n n a a a a a a a的部分和数列，此时数列{}n a 与级数 +-++-+-+-)()()(123121n n a a a a a a a 有相同的敛散性，因此，有2 级数收敛的准则定理1（级数收敛的Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当N m >以及对任意的正整数p ，都有 ε<++++++p m m m u u u 21.注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00>ε，对任何正整数N ，总存在正整数 00),(p N m >，有 0210000ε≥++++++p m m m u u u .3 级数收敛的必要条件推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则0lim =∞→n n u . 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3.例3 讨论调和级数 +++++n 131211 的敛散性.解：显然，有 01limlim ==∞→∞→nu n n n ，但当令 m p =时，有 m m m m u u u u 2321+++++++ mm m m 21312111+++++++= 2121212121=++++≥m m m m . 因此，取210=ε，对任何正整数N ，只要N m >和m p =就有 0210000ε≥++++++p m m m u u u ，故调和级数发散.例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑21n收敛. 证明：由于 p m m m u u u ++++++ 21=222)(1)2(1)1(1p m m m ++++++ ))(11)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-+++++++< mp m m 111<+-=. 故对0>∀ε，取]1[ε=N ，使当N m >及对任何正整数p ，都有 p m m m u u u ++++++ 21ε<<m1.故级数 ∑21n 收敛. 4 收敛级数的性质定理2 若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都有收敛，则对任意常数d c ,，级数)(1n n n dv cu +∑∞=也收敛，且 )(1n n n dv cu +∑∞=∑∑∞=∞=+=11n n n n v d u c .即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立.定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）.若级数∑∞=1n n u 收敛，设其和为S ，则级数 ++++21n n u u 也收敛，且其和为n n S S R -=.并称为级数∑∞=1n n u 的第n 个余项（简称余项），它代表用n S 代替S 时所产生的误差.定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）.如： +-++-+-)11()11()11( ++++=000收敛，而级数 +-+-1111是发散的.作业 P5 1，2，3，4，5，6，7.第二节 正 项 级 数一 正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数.而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数.因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性.1 正项级数收敛的充要条件定理5 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分和数列{}n S 有界.证明：由于对n ∀，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有∑∞=1n n u 收敛⇔{}n S 收敛⇔{}n S 有界.2 比较原则定理6（比较原则） 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对N n >∀都有n n v u ≤，则 （1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛；（2）若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 也发散.证明：由定义及定理5即可得.例1 考察∑∞=+-1211n n n 的收敛性.解：由于当2≥n 时，有 222)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞=-22)1(1n n 收敛，故∑∞=+-1211n n n 收敛.3 比较判别法的极限形式推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是两个正项级数，若 l v u nnn =∞→lim ，则 （1） 当+∞<<l 0时，级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散； （2）当0=l 且级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 也收敛； （3）当+∞=l 且∑∞=1n n v 发散时，级数∑∞=1n n u 也发散.证明：由比较原则即可得.例2 讨论级数 ∑-n n 21的收敛性. 解：利用级数∑n 21的收敛性，由推论可知级数∑-n n 21收敛.例3 由级数∑n 1的发散性，可知级数∑n 1sin 是发散的.二 比式判别法和根式判别法1 比式判别法定理7 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数)1,0(∈q ：（1） 若对0N n >∀，有 q u u nn ≤+1，则级数∑n u 收敛 ； （2） 若对0N n >∀，有 11≥+nn u u ，则级数∑n u 发散. 证明：（1）不妨设对一切n ，有q u u n n ≤+1成立，于是，有 q u u ≤12， ,23q u u ≤， ,1q u u n n ≤-. 故112312--≤⋅⋅⋅n n n q u u u u u u ， 即 11-≤n n q u u ，由于，当)1,0(∈q 时，级数 ∑∞=-11n n q收敛，由比较原则，可知级数∑n u 收敛.（2） 因此时0lim ≠∞→n n u ，故级数∑n u 发散. 2 比式判别法的极限形式推论（比式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且 q u u nn n =+∞→1lim ， 则 （1）当1<q 时，级数∑n u 收敛；（2） 当1>q （可为∞+）时，级数∑n u 发散；（3） 当1=q 时，级数∑n u 可能收敛，也可能发散.如：∑n 1，∑21n. 证明：由比式判别法和极限定义即可得. 例4 讨论级数 +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)]1(41[951)]1(32[852951852515212n n 的收敛性.例5 讨论级数)0(1>∑-x nx n 的收敛性. 3 根式判别法定理8（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及正常数l ，（1）若对0N n >∀，有 1<≤l u n n ， 则级数∑n u 收敛；（2）若对0N n >∀，有 1≥n n u ， 则级数∑n u 发散. 证明：由比较判别法即可得.4 根式判别法的极限形式 推论（根式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且 l u n n n =∞→lim ， 则 （1）当1<l 时，级数∑n u 收敛；（2）当1>l （可为∞+）时，级数∑n u 发散；（3）当1=q 时，级数∑n u 可能收敛，也可能发散.如：∑n 1，∑21n .例6 讨论级数 ∑-+nn2)1(2的敛散性.解：由上推论即得. 说明：因 ⇒=+∞→q u u nn n 1limq u n n n =∞→lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效.但反之不能，如例6. 三 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.定理9 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dxx f 同时收敛或同时发散.证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[1，A]上可积，从而有 ⎰--≤≤nn n f dx x f n f 1)1()()(， ,3,2=n依次相加，得 ∑⎰∑∑-====-≤≤11122)()1()()(m n mmn mn n f n f dx x f n f若反常积分收敛，则对m ∀，有⎰⎰∑+∞=+≤+≤=111)()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S mmn m .于是，知 级数 ∑)(n f 收敛.反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有∑∑⎰=≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m)()()(1111.又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S S dx x f n A<≤≤⎰1)(0, 1+≤≤n A n .故知，反常积分⎰+∞1)(dx x f 收敛.同理可证它们同时发散. 例7 讨论下列级数（1） ∑∞=11n p n，（2）∑∞=2)(ln 1n p n n ， （3） ∑∞=3)ln )(ln (ln 1n pn n n 的敛散性.作业 P16 1，2，3，4，5，6，7，8，9．第三节 一般项级数一 交错级数1 交错级数的定义若级数的各项符号正负相间，即+-++-+-n n u u u u u )1(4321 ),2,1,0( =>n u n （1）则称（1）为交错级数.2 交错级数收敛的判别定理11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足下述两个条件： 1. 数列{}n u 单调递减； 2. 0lim =∞→n n u则级数(1)收敛.证 ( 证明部分和数列{}n S 的两个子列{}m S 2和{}12-m S 收敛于同一极限.) 考察交错级数(1)的部分和数列{}n S 的偶子列{}m S 2和奇子列{}12-m S)()(122232112--------=m m m u u u u u S ,)()()(21243212m m m u u u u u u S -++-+-=- .由条件1. 上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而数列{}12-m S 是递减的,而数列{}m S 2是递增的.又由条件2.知道002212→=-<-m m m u S S )(∞→m ,从而{}],[122-m m S S 是一个区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数S ,使得 S S S m m m m ==∞→-∞→212lim lim .所以数列{}n S 收敛,即交错级数(1) 收敛.推论 若交错级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛的交错级数(1)的余和n R 的符号与余和的首项相同 ,并有1+≤n n u R .例1 判别级数n x nn n∑∞=-1)1( )0(>x 的敛散性.解 10≤<x 时 , 由莱布尼茨判别法知, n x nn n∑∞=-1)1(收敛；1>x 时, 通项0)1(→/-n x n n, 所以n x n n n ∑∞=-1)1(发散.二绝对收敛级数及其性质1 绝对收敛和条件收敛若级数∑∞=1nnu各项绝对值所组成的级数∑∞=1nnu收敛,则称原级数∑∞=1nnu为绝对收敛.若级数∑∞=1nnu收敛,但各项绝对值所组成的级数∑∞=1nnu不收敛,则称原级数∑∞=1nnu为条件收敛.以级数∑∞=-11)1(n nn为例, 先说明收敛⇒/绝对收敛.2 绝对收敛与收敛的关系定理12 绝对收敛的级数一定收敛.证( 用柯西收敛准则 ).一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.例2 判断级数∑∞=1!nnna是绝对收敛还是条件收敛.3 绝对收敛级数的性质1. 绝对收敛级数可重排性我们把正整数列{} ,,,2,1n 到它自身的一一映射f ：)(n k n →称为正整数列的重排，相应的对于数列{}n u 按映射F ：)(n k n u u → 所得到的数列{})(n k u 称为原数列{}n u 的重排，相应于此，我们也称级数∑∞=1)(n n k u 是级数∑∞=1n n u 的重排.定理13 设级数∑∞=1n n u 绝对收敛,且其和等于S ,则任意重排后所得到的级数∑∞=1)(n n k u也绝对收敛亦有相同的和数.2 级数的乘积设有收敛级数∑∞=1n n u A =与收敛级数∑∞=1n n v B =,则它们的乘积∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n n v按正方形排列顺序有：∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nv+++++++++=132333323112222111v u v u v u v u v u v u v u v u v u按对角线排列顺序有：∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nv++++++++++=14233241132231122111v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u定理14 若级数∑∞=1n n u A =与级数∑∞=1n n v B =都绝对收敛,则按任意顺序排列所得到的级数乘积∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n n v 也绝对收敛,且其和等于AB .例3 等比级数+++++=-n r r r r2111, 1<r 是绝对收敛的,将20⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=n n r 按对角线顺序排列,则得到+++++++++++=-)()()(1)1(12222n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212.三 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法对于型如∑∞=1n n n b a 的级数的判敛，可用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.1 阿贝尔判别法引理 （分部求和公式，或称阿贝尔变换）设i ε和i v ),,2,1(n i =为两组实数.记 ∑==k i i k v 1σ),,2,1(n k =. 则 n n n i i i i n i i i v σεσεεε+-=∑∑-=-=1111)(.推论 (阿贝尔引理) 设(1) i ε),,2,1(n i =是单调数组；(2) 对任一正整数k ()n k ≤≤1,有A k ≤σ，这里∑==ki i k v 1σ),,2,1(n k =,则记{}k nk εε≤≤=1max 时,有A v nk k k εε31≤∑=.定理15 (阿贝尔判别法 ) 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑∞=1n n b 收敛，则级数 ∑∞=1n n n b a 收敛.证 ( 用柯西收敛准则 , 利用阿贝尔引理估计尾项 )由∑∞=1n n b 收敛,依柯西收敛准则，对任给0>ε，存在正数N ，使当N n >时, 对任一正整数p ,都有ε<∑++=pn n k kb1.又由于数列{}n a 单调有界，所以存在0>M ，使M a n ≤，应用阿贝尔引理可得到εM ba pn n k kk31≤∑++=.由柯西收敛准则知级数∑∞=1n n n b a 收敛.2 狄利克雷判别法定理16 (狄利克雷判别法) 若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ,又级数∑∞=1n n b 的部分和数列有界，则级数∑∞=1n n n b a 收敛.注1. 取数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a , ∑∞=1n n b ∑∞=+-=11)1(n n ,由狄利克雷判别法 , 得交错级数∑∞=+-11)1(n n n a 收敛. 可见莱布尼茨判别法是狄利克雷判别法的特例.2. 由狄利克雷判别法可导出阿贝尔判别法.事实上,由数列{}n a 单调有界,可知{}n a 收敛,设a a n → ()∞→n . 考虑级数∑∑∞=∞=+-11)(n n n n n b a b a a , a a n -单调趋于零,因∑∞=1n n b 收敛,从而∑∞=1n n b 的部分和有界,故级数∑∞=-1)(n n n b a a 收敛,又级数∑∞=1n n b a收敛,于是级数∑∑∞=∞=+-11)(n n n n n b a b a a 收敛.即级数∑∞=1n n n b a 收敛.例4 设数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a .证明级数∑∞=1sin n n nx a 和∑∞=1cos n n nx a对任何)2,0(π∈x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n k⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛++x n x n 21sin 21sinx n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21sin ，)2,0(π∈x 时，02sin≠x，故得到2sin 221sin cos 211x x n kx n k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=. 可见)2,0(π∈x 时, 级数∑∞=1cos k kx 的部分和有界.由狄利克雷判别法推得级数∑∞=1cos n n nx a收敛 . 同理可得级数数∑∞=1sin n n nx a 收敛 . 作业 P24 1，2，4， 5，8.。