1.2 概率的定义及其确定方法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率方法、古典方法、几何方法及主观方法。

主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。

概率是对随机事件发生可能性大小的数值度量。

1.随机事件的发生是带有偶然性的，但随机事件的发生的可能性是有大小之分的；2. 随机事件的发生的可能性是可以度量的，犹如长度和面积一样；3.在日常生活中往往用百分比来表示。

这里也是如此在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公里化定义。

一、概率的公理化定义1.定义 设Ω为一样本空间，为Ω上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件A ∈，定义在上的一个实值函数P （A ）满足： （1）非负性公理：()0;P A ≥ （2）正则性公理：()1;P A = （3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有11()();n n n n P A P A +∞+∞===∑则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P Ω为概率空间。

1.并没有告诉我们应如何确定概率。

但概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在一定的场合下确定概率的方法。

由于计算概率要用到排列与组合的公式。

2.概率是关于事件的函数。

二、排列与组合公式1.两大计数原理（1）乘法原理 ：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第一步有1m 种方法，做完第二步有2m 种方法，…，做完第k 步有k m 种方法，那么完成这件事共有12n m m m ⨯⨯⨯种方法。

如某班共有45位同学，他们生日完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。

（2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之一去完成，在第一类办法中有1m 种完成方法，在第二类办法中有2m 种方法，…，在第k 类办法中有k m 种方法，那么完成这件事共有12n m m m +++种方法。

2.排列、组合的定义及计算公式（1）排列：从n 个不同的元素中任取出r 个，排成一列，称为一个排列。

按乘法原理，此种排列共有n ×(n-1)×(n-2)×…×(n-r+1)个，记为r n P ，若r=n ，则称为全排列，全排列共有n!个，记为P n =n!。

（与顺序有关） ()!()!r n n P r n n r =≤- （2）重复排列：重复排列 从 n 个不同的元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r 个所得的排列称为重复排列，此种排列共有r n n n n ⨯⨯⨯=个，(r 可以大于n)。

如某班共有45位同学，他们生日共有45365种可能的情况。

这就是重复排列。

rn（3）组合：组合 从n 个不同的元素中任取r(r ≤n)个元素组成一组（不考虑其顺序）称为一个组合，按乘法原理，此种组合的总数为C rn=!)1()1(r r n n n +-⋯-=!)!(!r r n n -=!r P r n并规定0！=1，C 10=n ,这里rn C 还是二项展开式中的系数，即()na b +=∑=-nr rn r r n b a C 0。

若在上式中令1a b ==，可得组合恒等式：n nn n n n n n C C C C C 2...1210=+++++-（4）重复组合：重复组合从 n 个不同的元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r 个所得的组合称为重复组合。

此种重复组合数为!)2)(1(r nr n r n C r n ----=。

这几种排列组合及其计算公式将在古典概率的计算中经常使用，要注意在使用中识别有序（排列）与无序（组合），重复与不重复。

三、确定概率的频率方法频率方法在大量的重复试验中用频率去获取概率的近似值的一种方法。

1.定义 在n 次独立重复试验中，记()n A 为事件A 出现的次数，又称()n A 为事件A 的频数，称()()n n A A f A n ==事件发生的次数重复试验的次数为事件A 出现的频率。

频率是具有概率的公理化体系（1），（2），（3）性质，人们把大量重复试验中某个事件发生的频率，当作它发生的概率。

（验证）2.基本思想 在与考察事件A 有关的随机现象可大量重复进行的条件下，记事件A 的频率为()n f A ，随着n 的增加，()n f A 会稳定在一常数α附近，这个频率的稳定值就是所求事件A 的概率。

3.说明频率稳定性的例子例 投硬币n 次，正、反面出现的概率分别为1/2; 等。

例如：在统计学中把频率当作概率的估计值，在实际中频率当作概率近似使用。

在足球比赛中，罚点球是一个扣人心弦的场面，若记A=“罚点球射中球门”，曾有人对1930年至1988年世界各地53274场重大足球比赛作了统计，在判罚的15382个点球中，有11172个射中，频率为0.7263，这就是射中率()P A 的估计值。

频率具有稳定性的。

少数几次试验，即当n 很小时，()n f A 的波动较大，但当n 很大时，()n f A 就稳定在一个值p 上，这个值已与n 无关，它就是事件A 发生的概率了。

（1）如历史上数学家De Morgan ，Puff ，Pearson ， Feller 等做了掷硬币，观察出现正面的次数，得到了出现正面的频率的稳定值，即出现正面的概率为0.5。

（2 （3）频率的稳定性在人口的统计方面表现较为明显，（男、女婴出生的比率）。

概率的统计定义：在相同的条件下，重复进行n 次试验，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率稳定地在一个常数p 附近摆动。

通常，n 越大，摆动幅度越小，则称p 为事件A 的概率，记为：P （A ）=p四、确定概率的古典方法1.基本思想（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如n 个； （2）每个样本点（基本事件）发生的可能性相等； （3）若事件A 含有k 个样本点，则A 的概率为 A k().nP A ==Ω事件所含样本点个数中所含样本点个数这种概率的计算方法曾是概率发展初期的主要计算方法，所以称为古典概率。

又称为等可能概型。

在计算古典概型时，主要是计算基本事件总数n 和A 所含的基本事件数k.。

另外，古典概率也满足概率的三条公理。

（1）k≥0，故P(A)≥0。

（2）A=Ω时，k=n,P(A)=1.(3)对于两个互不相容的事件1A ，2A 分别含有1k 和2k 个基本结果，从而12A A 含有1k +2k 个基本结果，P(A 1)=n k 1,P(2A )=nk2,从而P(12A A )=nk k 21+=P(1A )+P(A 2)。

例：（扑克游戏）一副标准的扑克由52张组成，它有两种颜色，四种花色和13种牌型，假如52张牌的大小，厚度和外行完全一样，那么52张牌中任一张被抽到的可能性是相同的，我们计算以下事件的概率：（1）事件A=“抽出一张牌为红牌” （0.5） （2）事件B=“抽出一张牌不是红心”（0.75） （3）事件C =“抽出两张牌都是红心”（0.05882） （4）事件D=“抽出两张不同颜色的牌”（0.5098） （5）事件E=“抽出 5张恰好是同花顺”（0.00001539） （6）事件F=“抽出两张同花色的牌”（0.2353） （7）事件G=“抽出13张同花色的牌”（6.299×1012-）在扑克牌的游戏中会有很多有趣的随机事件，如彩票的6+1玩法。

例2.（抽样模型）一批产品共有N 个，其中M 个不合格品，N-M 个合格品，从中抽取n 个，求事件m A =“取出的n 个产品中有m 个不合格品”的概率。

分析 略。

解 略。

若N=9,M=3,n=4时，可以计算0()P A ，1()P A ，2()P A ，3()P A 。

（放回抽样与不放回抽样）抽样有两种方式：不放回抽样与放回抽样。

前者是每次取一个不放回，再取第二个，这相当于n 个同时取出，不计次序，计算概率时用组合；后者指抽取一个，放回，再取第二个，这时要讲究次序。

现对上例讨论按放回抽样方式抽取，恰有m 个不合格品的概率是多少？基本事件总数为N n 个，B m 所含有的基本事件数为m n m mnM N M C --)(个，其中m n m M N M --)(只是其中之一。

故P(B m )= m n m mnM N M C --)(/ N n 。

若N=10,M=2,n=4,则P(B 0)=0.4096,P(B 1)=0.4096,P(B 2)=0.1536,P(B 3)=0.0256,P(B 4)=0.0016。

例（彩票模型）在35选7的彩票中，即从01，02，35中不重复的开出7个基本号码和一个特殊号码。

求各等奖中奖的概率（附：中奖规则）补充例题：将n 个可辨的球（如颜色不同，进行编号等）随机地放入N 个盒子，假如每个盒子中能放的球不限，每个球放入每一个盒子是等可能的，试求以下概率：（1）A=“恰有()n n N ≤个盒子中各有一球”，（2）B=“指定的()n n N ≤个盒子各有一球”，（3）C=“某个指定的盒子中恰有k 个球”。

(1) !()nN n C n P A N=生日问题：事件A=“n 个人的生日 都不相同”，一年365天当成365个盒子，n 个人可以看作可辨的球，n 个人生日互不相同的概率为：365!()365nnC n P A ==365×364×…×（365-n+1）/365n. 121111365365365n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下表给出了对应于n 的具体的概率值：电梯问题： 一幢17层高楼，有n 个人从第一层走进电梯，试求这n 个人在不同的楼层走出电梯（记为n B ）的概率是多少？ 17层楼可以看作16个盒子，n 个人，于是概率为16!1615(161)1616n n rC n n p ⨯⨯⨯-+==。

下表给出了一些具体值(2) 指定的n 个盒子各有一球概率为：()n P B N= 。

（3）某个指定的盒子中恰有k 个球的概率为：(1)()k n kn nC N P C N --=。

恰有k个人的生日在元旦的概率问题。

如果换成别的背景，就是别的应用问题。

习题1.2（P27）：4.;7;10;11；13;五、确定概率的几何方法1.基本思想表示；（1）如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区间，其度量可用SΩ（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的：（3）若事件A为Ω中的某个子区域，其度量为S，则事件A的概率为A。