15
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
全排列
Ann n!
可重复排列：从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有
nm 种
23
不尽相异元素的全排列：n 个元素中有 m 类， 第 i 类中有 ki 个相同的元素，
k1 k2 km n, 将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
则 nA1 k!
P( A1)
（2）恰有 k 个盒子中各有一球；
nA1 n
k! Nk
nA2 CNk k !
P(
A2
)
CNk N
k!
k
7
（3）某指定的一个盒子没有球；
nA3 (N 1)k
P(
A3
)
(
N 1)k Nk
（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k )；
又由 AB B, P(B AB) P(B) P(AB) P(A B) P(A) P(B) P(AB)
19
推广： P( A B C) P( A) P(B) P(C)
P( AB) P( AC) P(BC)
P( ABC)
一般：P(n
Ai
)
n
P(
Ai
)
P( Ai Aj )
0.1 0.6
lim
n
fn
(
A)
P(
A)
稳定性
14
频率稳定性的实例
蒲丰投币
投一枚硬币观察正面向上的次数 Buffon n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069
皮尔森投币
Pearson n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
排列、组合有关知识复习：
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情
共有
n
mi
i1
种不同的方法
乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情
共有
n
mi
i1
种不同的方法
22
排列：从 n 个不同的元素中取出 m 个 （不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有
km
n nk1
km
种
25
§1.3-1.5
条件概率和乘法公式 全概率公式 Bayes公式 事件的独立性
26
§1.3 条件概率
条件概率与乘法公式
引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中 有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球， 1只塑料球.
现从袋中任取1球，假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球，问 它是木球的概率是多少？
17
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1, A2 , An为两两互斥事件，
P
n i1
Ai
n i1
P( Ai )
P(A) 1 P(A) P( A) 1
S A A 且 A A 1=P(S) P(A) P(A)
若 A B P(B A) P(B) P(A)
29
条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有 概率的性质：
非负性 规范性 可列可加性
P(B A) 0
P( A) 1
P
i1
Bi
A
P
i1
Bi
A
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A)
P(B A) 1 P(B A)
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B1B2 A)
30
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式
P( AB) P( A)PB A (P( A) 0)
P(AB) P(B)PA B (P(B) 0)
推广
P( A1A2 An ) P( A1)PA2 A1 P An A1A2 An1
(P( A1 A2 An1) 0)
31
例 已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
nAB
P B A 4 nAB n P( AB)
定义
7 nA
设A、B为两事件,
nA
P
n( A
)
P( A)
> 0, 则称
P( AB) P( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，
记为
PB A
条件概率的计算方法
（1） 等可能概型可用缩减样本空间法 （2） 其他概型用定义与有关公式
P( A)
C15C43 C53C14 C94
例2 投掷三颗骰子，其中一个出现点数为5， 而另外两个出现的点数不同且不等于5的概 率.
A=“一个出现点数为5，另外两个出现的 点数不同且不等于5”
5
k C31P52
P( A)
C31 5 63
4
例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求
恰有3个球放在同一盒内的概率。
P( A) P(B)
B A (B A) 且 A (B A)
18
加法公式：对任意两个事件A, B, 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A B) P(A) P(B)
证明：A B A (B AB) 且 A(B AB) 所以， P(A B) P(A) P(B AB)
等可能概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球
27
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为
PB A
问题：条件概率中样本空间 | A是什么？
解 列表
白球 红球 小计
木球
4
2
6
塑料球 3
1
4
小计
7
3
10
28
PB A 4
7
nB A 4 nAB , n A 7 nA ,
m
互不相容，因此， Ai i 1
包含
m
ki
个事件
i 1
因此，
m
m
ki
m
P( Ai ) i 1
i 1
n
P( Ai )
i 1
例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码，
数码之和为奇数的概率. A=“4个数码之和为奇数”
4
A包括两个子事件: (1)只有一个奇数（2）只 有三个奇数, 因此，
k C15C43 C53C14
nA4 Ckm (N 1)km
P( A4
)
Ckm
(N 1)km Nk
（5）至少有两个球在同一盒子中
nA5 N k CNk k!
P( A5)
Nk
CNk Nk
k!
1
P( A2 )
8
几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点
落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度 成正比，则样本点落入A内的概率为
P(
A)
A的测度 S 的测度
L( A) L(S )
9
几何概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
有限可加性：P
m i 1
Ai
m i 1
P( Ai )
其中 A1, A2, Am 为两两互斥事件。
可列可加性：
P
i 1
Ai
P( Ai )
i 1
其中
A , A , 12
解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时
所求概率为
PB A P( AB) P(B) 0.4 1
P( A) P( A) 0.8 2
B A
32
例 某人外出旅游两天，需要知道两天的天气 情况，据天气预报，第一天下雨的概率为 0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨 的概率为0.1. 求 第一天下雨时，第二天不 下雨的概率
不同的排法共有 n!
k1!k2!km! 种
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组合：从 n 个不同的元素中取出 m 个 （不放
回地）组成一组， 不同的分法共有
Cnm
n! m!(n m)!
多组组合：把 n 个元素分成 m 个不同的组
（素组，k编1 号k）2 ，各 k组m 分 n别有，k不1,k同2,的分,km法个共元有
C C C k1 k2
解 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨
P( A2
A1 )
P( A1A2 ) P( A1)
P( A1) P( A1A2 ) P( A1)
0.6 0.1 5 0.6 6
P( A2 ) 0.7
33
一般地，条件概率与无条件概率之间的大小 无确定的关系
上例中
P( A2
A1 )
P( A1 A2 ) P( A1)
解 设事件Ai 表示“能答出第 i 类问题”i = 1,2
(1) P(A1 A2 ) P(A1) P(A1A2) 0.7 0.1 0.6 (2) P(A1 A2 ) P(A1) P(A2 ) P(A1A2 ) 0.8