解:
其单位向量为
(cos , cos , cos )
u l
(2,1, 3)

(ux
cos

uy
cos

uz
cos
) |(2 ,1, 3)
4 3 5 4 3 12 68 13 13 13 13
三、计算题（每小题8分，共40分）

5. 求级数 (n 1)(x 1)n的收敛域及和函数.
A
在点 (1, 1) 处 AC B2 4 0, A 0,
为极小值.
3. 已知级数

un的部分和
n1
Sn

n, 2n 1
则

un
n1

____ .
解:
1.
2


un
n1

1. 2
4.
将
1
dx
x f (x, y)dy 交换积分次序为
0
0
11
dy f (x, y)dx
x2 y2 1
原式 D 1 r2 r d r d

π
2 d
1
1 r2rdr
0
0
O
x
π
2 0
d

2
1(2
2 1)d
(2
2 1).
03
6
4. 求函数u xy yz zx 在点 (2,1,3) 沿着从该点到点 (5,5,15) 的方向导数.
x x
1 ( z )2 z 2 z 2 z ,
x
x2 x2
2z x2

1 ( z x
1 z
)2

1

x2 (1 z)2
1 z

(1 z)2 (1 z)3
x2
.
方法三： 将方程两边求全微分，得
2xdx 2ydz 2zdz 2dz 解出dz，得 dz x dx y dy
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在 点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
三、计算题（每小题8分，共40分）
1. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z2 2z
确定的隐函数,
求
z x
5
5
dy
1
1
1 y (x 6 y)d x
5

44 25
(2 62 72 75
248 ) 5
76 . 3
太难算了
3. 求 1 x2 y2 dxdy，其中D为圆 x2 y2 1
D
所围在第一象限中的区域
解:
在极坐标系下
D
:
0 r 1
0


1 2
π
,
y
1 z 1 z
所以 z x ,
x 1 z

2z x2

( x ) x 1 z

(1 z) x z x
(1 z)2
(1 z)2 x2 (1 z)3
2. 计算I (x 6y)d , 其中D 是直线 y＝x, y＝5x, 及 D
x＝1 所围的闭区域.
所以两平面不平行.

D 5若. 级数 an (x 1)n在x 3处发散,则此级数在x 1处( ) n0 A. 发散; B.条件收敛；C.绝对收敛；D.不能确定


分析:令t x 1，an (x 1)n 转化为 antn.
n0
n1
当x 3时,t 2. t 2时, antn发散.
二次积分___0 ____y ______.
y yx
(1,1)
解. 积分域如图.
D :
0 x1 0 y x
D x 1 O 1x
表示为Y形区域
D:

y x1 0 y1
11
原式 0 dy y f (x, y)dx

5. 若 a, b, 为同向的单位向量，则它们的数量积
解法1.
将D看作X
-
型区域,
则D
:
x y 5x

0

x

1
I


1 0
d
x

5x (x 6 y)d
x
y

1
0
xy 3y2
5xd x
x
1 76x2 dx 76 .
0
3
解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
1
I dy 0
y
1 y (x 6 y)d x
3
2
3. 在点P处函数 f (x, y),的全微分 df 存在的充分条件是
C(
)
(A) fx , f y均存在.
(B) f 连续.
(C) f 的全部一阶偏导数均连续 .
(D) f 连续且 fx , f y 均存在.
全微分的定义
定义: 如果函数 zБайду номын сангаас= f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
济南大学1112高等数学B(二)参考解答
一、填空题（每小题2分，共10分）
1. z x2 y在(1,1)处的dz
解:
z 2xy , x
z x2, y
dz 2xydx x2dy, dz x1 2dx dy.
y1
2. 设函数 f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线平行的直线方程.
解： 所求直线的方向向量可取为
s n1 n2
(4, 3, 1)
利用点向式可得方程
x3 y2 z5
4
3
1
2. 判别级数
的收敛性,
若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解:
( x ) (1 x) x 1 2 x (x 1)2
2. 设D为x2 y2 a2 ,
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .

0

f 2xy 2 0
y (1,1)
(1,1)
因此有4 a 1 0 ，即 a 5.
补充. 设函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．
解： 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 4, fxy (x, y) 2 y , fyy (x, y) 2x

a b _____.
解.

a 与 b 的夹角为0,


a 1, b 1

a b a b cos 1
二．选择题(每小题2分,共10分)
1. 设平面方程为Bx Cz D 0 且. B , C , D 0
则 平面（ B ）.
(A) 平行于x轴. (C) 经过y轴.
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微
偏导数连续
小结 极限，连续，可导，可微的关系图
极限存在
连续
偏导数存在
可微分
偏导数连续
3. 试求曲线
绕z轴 旋转所得曲面与平面
所围成的立体的体积.
解: 曲线
绕z轴 旋转所得曲面 z x2 y2 与


(x 1)n1
x 1.
1
1
n0
n0
2x
对上式两边求导，得
s(x) d x s(t) d t ( x 1) 1 .
dx 1
2 x (2 x)2
0 x 2
四．解答题(每小题11分，共33分) 1. 求 过点 (–3 , 2 , 5) ，且与两平面
n0
当x 1时,t 2. 不满足条件 | t | 2,

当t 2时, antn的敛散性不能确定.
n0
在x 1处原级数的敛散性不能确定.
定理2 . 若函数 F (x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ;