当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，
即ax2+bx≤a+b，故③正确；
④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）：
∴y1＝y2，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
7．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当x＜ 或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（ ）
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选B．
11．如图，矩形 的周长是 ，且 比 长 ．若点 从点 出发，以 的速度沿 方向匀速运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 方向匀速运动，当一个点到达点 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数图象大致是（）
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
故符合y与t的函数图象是B．
故选：B．
【点睛】
此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.
【详解】
解：∵y＝m（x＋3）（x＋9）＝mx2＋12mx＋27m，y＝n（x－2）（x－6）＝nx2－8nx＋12n，
8．小明从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＞0，②abc＜0，③a-b+c＞0，④ ＞4ac，⑤2a=－2b，其中正确结论是（ ）．
A．①②④B．②③④C．③④⑤D．①③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a 0，b 0，c 0，则abc 0，则①正确；
根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；
根据函数对称轴可得：- =3，则b=-6a，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；
新初中数学二次函数经典测试题及答案
一、选择题
1．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )
A．1B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．
④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2−4ac>0，故④正确；
⑤由图象可知：对称轴为x= =
则2a=−2b，故⑤正确；
故正确的有：③④⑤．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
2．二次函数 ＝ （ ≠0）图象如图所示，下列结论：① ＞0；② ＝0；③当 ≠1时， ＞ ；④ ＞0；⑤若 ＝ ，且 ≠ ，则 ＝2．其中正确的有（）
A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据条件求出AB、AD的长，当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，分析图像可排除选项B、C；当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，分析图像即可排除选项D，从而得结论．
【详解】
解：由题意得 ， ，
【详解】
①由抛物线交y轴于负半轴，则c<0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；
∵对称轴在y轴右侧，对称轴为x= >0，
又∵a>0，
∴b<0；
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c<0，
故abc>0，故②错误；
③结合图象得出x=−1时，对应y的值在x轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确；
【详解】
解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，
∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，
∴OC＝k，
∵△ABC的面积＝ AB•OC＝ AB•k，△ABD的面积＝ AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，
∴k＝ (4﹣k)，
解得：k＝ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．
可解得 ， ，即 ，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，
S△APQ= ，
图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，
S△APQ= ，
图像是一条线段，故选项D不正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
故选D．
考点：二次函数图像与系数的关系.
3．已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程 的解为 或4；③ ；④当 时， ；⑤当 时， 随 增大而增大．其中结论正确的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得 ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】
解：依题意得方程 的实根是函数 与 的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当x= 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x= 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x= 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x=1时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数上方．
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4【答案】B【解来自】【分析】【详解】
解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
【详解】
解：抛物线的开口向下，则a＜0；
抛物线的对称轴为x=1，则- =1，b=-2a
∴b>0，2a+b=0 ②抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；
由图像知x=1时y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y= +c不是顶点纵坐标，不是最大值
∴ ＞ （故③正确）
：b＞0，b+2a=0；（故②正确）又由①②③得：abc＜0（故①错误）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
A．﹣4＜P＜0B．﹣4＜P＜﹣2C．﹣2＜P＜0D．﹣1＜P＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴ ＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．