江苏省徐州市丰县中学2020-2021学年高三上学期迎接摸底考试模拟试卷（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足()22i z i i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}|21A x y x ==-，集合{}2|B y y x ==，则集合AB =（ ）A ．()1,1B ．[)0,+∞C ．(){}1,1D ．0,3．已知(),0,x y ∈+∞，4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（ ） A ．2 B ．98 C ．32D ．944．若不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则不等式()()2112a x b x c ax ++-+<的解集为（ ）A ．{}|21x x -<<B ．{}|21x x x <->或C ．{}0|3x x x <>或D ．{}|03x x <<5．设()1sin f x x =，()()'21f x f x =，()()'32f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，则()2020f x =（ ） A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．若幂函数()f x 的图象过点122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e=的递增区间为（ ） A ．()0,2 B ．()(),02,-∞+∞ C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-+∞8．设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m的取值范围（ ） A ．()3,+∞ B ．3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、多选题 9．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --10．下列命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件 B ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-”C ．若,a b ∈R ，则2b a a b +≥= D ．设a R ∈，“1a =”，是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件11．关于11()a b -的说法，正确的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为2048 B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小12．如图，直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且PC =则（ ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．二面角P DC B --的大小为4π C ．PC ED ⊥.D ．PC 与平面PED三、填空题13．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望()E ξ=______.14．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，'BB 的中点为M ，CD 的中点为N ，异面直线AM 与'D N 所成的角是______.15．在()()5122x x -+展开式中，4x 的系数为______.16．关于x 的方程ln 10xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围______.四、解答题17．某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：5125,i ii x===∑515.36,i ii y===∑51()()0.64;i i i i x x y y ==--=∑参考公式：51521()()ˆ,()i i ii i ii x x yy bx x ====--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且//AB EF ，2AF =，24EF AB AD ===ABCD ⊥平面ABEF .（1）求证：BE DF ⊥； （2）求三棱锥C ABE 的体积V .参考答案1．C 【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，由此得到z 对应的坐标，进而求得z 在复平面内对应的点所在象限. 【详解】因为()()()2(1)2221322255i i i i i i iz i i i -+++--+--+====--⨯+， 所以3155z i =--， z 对应点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题目. 2．B 【分析】先求出集合,A B ，即可求出交集. 【详解】{}|21A x y x R ==-=，{}[)2|0,B y y x ===+∞， [)0,A B ∴=+∞.故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域和值域的求法，考查集合交集运算，属于基础题. 3．A 【分析】 根据4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得24x y +=，之后利用基本不等式得到2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=，从而求得结果. 【详解】因为(),0,x y ∈+∞，且421224yx y --⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以42x y ，即24x y +=，所以有2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=， 当且仅当22x y ==时取得最大值2， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目. 4．C 【分析】由题意得0a <，利用韦达定理找到,,a b c 之间的关系，代入所求不等式即可求得. 【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则1x =与2x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <， 由韦达定理知121b a -=-+=，122ca=-⨯=-， 即=-b a ，2c a =-，则不等式()()2112a x b x c ax ++-+<可化简为()()21122a x a x a ax +---<，整理得： 230ax ax -<，即(3)0ax x -<，由0a <得0x <或3x >， 故选：C. 【点睛】本题主要考一元二次不等式，属于较易题. 5．D 【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出4()(),n n f x f x n N +=∈，可得解. 【详解】1()sin f x x =，()''1()sin cos f x x x ∴==， '12()()cos f x f x x ==，()23'()(cos )sin f x f x x x '===-， ()34'()(sin )cos f x f x x x '==-=-， ()45'()(cos )sin f x f x x x '==-=，由此可知：4()(),n n f x f x n N +=∈，24201()()cos f x f x x ∴==-.故选：D. 【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题. 6．B 【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有1233339C C =⨯=，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有2133339C C =⨯=，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型. 7．A 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间. 【详解】设()f x x α=，代入点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则12α=⎝⎭，解得2α=， ()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e--'==， 令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A. 【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 8．A 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围. 【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3，则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞， 故选：A 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题. 9．ABC 【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i iz i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确； 对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 10．BD 【分析】根据不等式的性质可判断A ；根据含有量词的否定可判断B ；根据基本不等式的适用条件可判断C ；根据奇函数的性质可判断D. 【详解】对于A ，当1a >时，可得11a <，故“1a >”是“11a<”的充分条件，故A 错误； 对于B ，由特称命题的否定是存在改任意，否定结论可知B 选项正确；对于C ，若0ab <时，2b a a b +≤-=-，故C 错误；对于D ，当1a =时，1()1xxe f x e -=+，此时()()f x f x -=-，充分性成立，当()1x xa e f x ae -=+为奇函数时，由1()1x x xxa e ae f x ae e a-----==++，()()f x f x -=-可得1a =±，必要性不成立，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查命题及其关系以及不等关系和不等式，属于基础题. 11．ACD 【分析】根据二项式系数的性质即可判断选项A ；由n 为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC ； 由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由二项式系数的性质知，11()a b -的二项式系数之和为1122048=，故选项A 正确；因为11()a b -的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C 正确，选项B 错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D 正确； 故选：ACD 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 12．AB 【分析】A 中利用折前折后不变可知PD AD =,根据222PD CD PC +=可证CD PD ⊥,可得线面垂直，进而证明面面垂直；B 中二面角P DC B --的平面角为PDE ADE ∠=∠,故正确；C选项中AED ∠不是直角可知,PD ED 不垂直，故PC ED ⊥错误；D 中PC 与平面PED 所成角为CPD ∠,计算其正切值即可. 【详解】 A 中, PD AD ====在三角形PDC 中，222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥,又CD DE ⊥，可得CD ⊥平面PED ，CD ⊂平面EBCD ，所以平面PED ⊥平面EBCD ，A 选项正确；B 中，二面角P DC B --的平面角为PDE ∠，根据折前着后不变知=45PDE ADE ∠=∠︒，故B 选项正确；C 中，若PC ED ⊥，又ED CD ⊥，可得ED ⊥平面PDC ,则ED PD ⊥,而EDP EDA ∠=∠, 显然矛盾，故C 选项错误；D 中，由上面分析可知，CPD ∠为直线PC 与平面PED 所成角，在t R PCD中，tan 2CD CPD PD ∠==故D 选项错误. 故选：AB . 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，二面角，线面角的求法，属于中档题. 13．2 【分析】ξ的可能值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】ξ的可能值为1,2,3，则()124236115C C p C ξ===；()214236325C C p C ξ⋅===；()3436135C p C ξ===. 故分布列为：故()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14．90︒ 【分析】取CC '中点E ，连接ME ，连接ED 交D N '于F ，可知即DFN ∠为异面直线AM 与'D N 所成的角，求出即可. 【详解】取CC '中点E ，连接ME ，连接ED 交D N '于F ，在正方体中，可知ME BC AD ∥∥,∴四边形AMED 是平行四边形，AMED ∴，即DFN ∠为异面直线AM 与'D N 所成的角， 可知在Rt ECD △和Rt NDD '中，,,90EC ND CD DD ECD NDD ''==∠=∠=,ECD NDD '∴≅，CED FND ∴∠=∠,90CED EDC ∠+∠=,90FND FDN ∴∠+∠=, 90DFN ∴∠=，即异面直线AM 与'D N 所成的角为90.故答案为：90. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.15．80 【分析】将原式化为()()5521212x x x -+-，根据二项式定理，求出()512x -展开式中3x ，4x 的系数，即可得出结果. 【详解】()()()()55512221212x x x x x -+=-+-，二项式()512x -的展开式的第1r +项为()152rrr r T C x +=-， 令3r =，则()333345280T C x x =-=-， 令4r =，则()444455280T C x x =-=，则()()5122x x -+展开式中，4x 的系数为2808080⨯-=.故答案为：80. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 16．21,1e e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分离参数，构造函数2ln 1(),(0,]x f x x e x x=+∈，利用导数讨论()f x 的单调性，再结合关于x 的方程ln 10xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根等价于()y f x =与y k =有两个交点，即可求出k 的取值范围. 【详解】ln 10x kx x --=，2ln 1x k x x ∴=+， 设2ln 1(),(0,]x f x x e x x =+∈，312ln ()x xf x x--∴='， 设()12ln ,(0,]g x x x x e =--∈，2()10g x x ∴=--<'，即()g x 在(]0,e 是减函数，又(1)0g =，∴当01x <<时，()0>g x ，即()0f x '>，当1x e <<时，()0<g x ，即()0f x '<，()f x ∴在()0,1为增函数，在()1,e 为减函数，当0x →时，()f x →-∞，21()(1)1,e e f f e=+=， 关于x 的方程ln 10xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根等价于()y f x =与y k =有两个交点， 由上可知211e k e+<， ∴实数k 的取值范围为21,1e e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：21,1e e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数解决方程根的问题，属于较难题.17．(1) 0.0640.752y x =+ (2) 销售均价约为1.52万元/平方米 【解析】分析：（1）由题意，计算x ，y ，求出ˆb，ˆa ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算12x =时ˆy的值即可. 详解：（1）计算可得()3456755x =++++=，()0.950.98 1.11 1.12 1.20 1.0725y =++++=，()52110i i x x =-=∑，所以0.640.0641ˆ0b==， 1.07ˆˆ20.06450.752a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为0.06405ˆ.72yx =+. （2）将12x =代入回归直线方程得0.064120.752 1.5ˆ2y=⨯+=，所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键.18．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）由平面ABCD ⊥平面ABEF 垂直可得AD ⊥平面ABEF ，即可得AD BE ⊥，取EF 的中点记为G ，连接AG ，可由勾股定理证明AG AF ⊥，即得BE AF ⊥，进而得出BE ⊥平面，即证BE DF ⊥；（2）求出三角形ABE 的面积和BC 长，即可求出体积. 【详解】（1）∵AD AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ，∴AD BE ⊥， 取EF 的中点记为G ，连接AG ，∵//BA EG ，BA EG =，∴四边形ABEG 为平行四边形，∴//BE AG ，在三角形AGF 中，2AG AF ==，GF =222AF AG GF +=，∴AG AF ⊥，∴BE AF ⊥.ADAF A =，∴BE ⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，∴BE DF ⊥；（2）设E 到AB 的距离为d ，则A 到GF 的距离也为d ，由（1）可知AG AF ⊥，AG AF GF d ∴⋅=⋅，解得d =BC ⊥平面ABEF ，且BC AD ==，1111133232C ABE ABE V S BC AB d BC -=⋅=⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查面面垂直的性质，考查利用线面垂直证明线线垂直，考查三棱锥体积计算，属于基础题.。