丰县修远双语学校2020-2021学年度第二学期高二数学模拟试卷一一、填空题：（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）1. 在复平面内，复数z =i(1+2i)对应的点位于第_____________象限. ［答案］二［解析］∵z =i （1+2i ）=i +2i 2=-2+i ，∴复数z 所对应的点为（-2，1），即位于第二象限. 2. 用数字1，2，3，4，5组成的四位偶数有 个. ［解答］2×5×5×5=250.3.若复数z=(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数，则实数x 的值为_____________. ［答案］-1［解析］210,1.10x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩4．561212C C +=_______．［答案］613C (或1 716)5．若二项式61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的第5项是5，则x 的值是______．［答案］36．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 种． ［答案］247. 若X ~B (10,0.8)，则P (X =8)=___________．(只列式不计算) ［答案］882100.80.2C ⨯⨯8．已知|z |=2(z ∈C )，则|z +i|的最大值是_____________． ［答案］3［解析］|z +i |的最大值是以原点为圆心，2为半径的圆上的点到定点（0，－1）距离的最大值，画图得|z +i |max =3．9. 在10个球中有6个红球，4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是________.［答案］5910. 4个不同的小球放入3个有编号的盒子，每个盒子至少放一个小球，有____种不同的放法. ［答案］36［解析］先选后排，234336C A =(种).11. 设(x 2+1)(2x +1)9=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+…+a 11(x +2)11，则a 0+a 1+a 2+…+a 11的值为_______. ［答案］-2［解析］令x =-1，则a 0+a 1+a 2+…+a 11=-2.12 . 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_________（结果用最简分数表示）． ［答案］57［解析］因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名女生，当选出的学生全是男生时有35C 种情况，概率为353727C C =，所以，均不少于1名的概率为1-27=57.13.已知112311n n n n n n n nC C C C +--+++=++，求n = . ［答案］4［解答］原式可化为2312311n n n n C C C C +++=++,∴(3)(2)(1)(1)1212121n n n n n n n +++-=+++⨯⨯⨯, 解之得n =4或n =-1.∵n ∈N *，∴n =4．14．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有______种. ［答案］36［解析］根据题意可分两类情况进行讨论.若第一道工序由甲照看，则第四道工序就只能由丙照看，共有24A 种可能；若第一道工序由乙照看，则第四道工序就从甲、丙两工人中选出1人来照看，共有1224C A 种可能.所以符合题意的不同的安排方案共有21242436A C A +=(种).二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）已知矩阵A =1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，向量α=74⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1) 求A 的特征值λ1,λ2和特征向量α1,α2； (2) 计算A 5α的值．［解答］(1) 矩阵A 的特征多项式为212()56014f λλλλλ--==-+=-，解得λ1=2,λ2=3.当λ1=2时,解得α1=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦;当λ2=3时,解得α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2) 由α=m α1+n α2,得27,4,m n m n +=⎧⎨+=⎩得m =3,n =1．由(2)，得A 5α=A 5(3α1+α2) =3(A 5α1)+A 5α255551122214353()32311339λαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．16.（本小题满分14分）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4c os θ,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长. ［思维引导］把曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程都化为直角坐标方程后，利用直线与圆的位置关系知识可求解. ［解答］曲线C 的极坐标方程ρ=4c os θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x =0，即（x －2）2＋y 2=4.直线l的参数方程1,2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程得x －y －1=0.曲线C 的圆心（2，0）到直线l2=，所以直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长为=17.(本小题满分14分）已知f （n ）=（2n +7）·3n +9，是否存在自然数m ，使得对任意的正整数n ，都能使m 整除f （n ）？如果存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论；如果不存在，说明理由. ［解答］当n =1时，f （1）=36；当n =2时，f （2）=108；当n =3时，f （3）=360. 猜想：存在最大整数m =36能整除f （n ）. 证明：① 当n =1时，由以上知结论成立.② 假设当n =k 时，结论成立，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除，那么当n =k +1时，f （k +1）=［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k -1-1）， 由归纳假设知：（2k +7）·3k +9能被36整除. 又18（3k -1-1）能被36整除， 所以n =k +1时，结论也成立.故由①②可知对任意正整数n ，结论都成立.18.（本小题满分16分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．（1） 在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（2） 在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)． ［规范解答］（1） 由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件A 1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A 2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．…………………………（3分）12()()()P B P A P A =+121119219621333636C C C C C C C =+ 92734170=+ 3685= ……………………………………………………………………………………(7分) 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685……………………（8分）（2） ξ的可能取值为0，1，2，3.P（ξ=0）=33391,84CC=P（ξ=1）=126339314C CC=，P（ξ=2）=21633915,28C CC=P（ξ=1）=36395 (12)21CC=分所以ξ的分布列为所以E（ξ）=0×84+1×14+2×28+3×21=2.…………………16分19.（本小题满分16分）设0<a，b，c<1，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不可能同时大于1 4 .［解答］假设（1-a）b＞14，（1-b）c＞14，（1-c）a＞14，则三式相乘,得abc（1-a）（1-b）（1-c）>164.①又0＜（1-a）2(1)2a aa-+⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦=14，0＜（1-b）b≤2(1)2b b-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦14，0＜（1-c）c≤2 (1)2c c-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦14，上述三式相乘,得abc（1-a）（1-b）（1-c）≤1 64.②①与②矛盾，故原结论成立.20.（本小题满分16分）已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1) 求n；(2) 求含x2项的二项式系数；(3) 求展开式中所有的有理项．［解答］通项公式为2333 1(3)(3)n r r n r r r r rr n nT C x x C x---+=⋅⋅-⋅=⋅-⋅．(1) ∵第6项为常数项，∴当r=5时，有23n r-=，∴n=10．(2) 令223n r-=，得1(6)22r n=-=．∴所求的二项式系数为210C .(3) 根据通项公式，由题意得102,3010,.rr r -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩Z Z令2()3n r k k -=∈Z ，则31023,52r k r k -==-． ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数． 故k 可取-2,0,2，即r 可取2,5,8．∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255582101010(3),(3),(3)C x C C x -⋅-⋅⋅-⋅-⋅．。