将式（2-13）和式（2-14）代入式（2-15）式（2-16）
中得
A1dh1/dt=Qi-h1/R1
(2-17)
A2dh2/dt=h1/R1- h2/R2
(2-18)
将式（2-17）与式（2-18）相加，并整理后得
d h1
dt
1 (Q Ai
1
A2
dh2
dt
h2 ) R2
（2-19）
将式（2-18）求导，得
2
(T
1
T
)
2
dh
dt
2
h
2
KQ
i
（2-22）
上式为一个二阶常系数微分方程式。式中 T1,T2 分别为两个水槽的时间常数， K为整个对象的放大系 数。
三、纯滞后对象的数学模型及特性 在连续化生产中，有的被控对象或过程，在输
入变量发生变化后，输出变量并不立刻随之变化， 而是要隔上一段时间后才产生响应。我们把具有这 种特性的对象称为纯滞后对象。
s
i
Q Q VQ
0
s
0
将这些变量代入式（2-1）中，就可得到
A dVh VQ VQ
dt
i
o
（2-2）
在上式中，还不能清楚地看出h与Qi的关系。因为 式中有QO的存在，为此，必须将QO从式中消除。由工 艺设备的特性可知，QO与h 的关系是非线性的。考虑 到h和QO的变化量相对较小，可以近似认为QO与h 成正 比，与出水阀的阻力系数R 成反比，其具体关系式如
(1）对象输出的变化特点 对式（2-9）求导，可得h在t时刻变化速度，即
e dVh KVQ t /T
dt
T
当t=0时，得h的初始变化速度
（2-10）
dVh| KVQ Vh()
dt t0 T T
当t=∞时，得h的最终变化速度
（2-11）
dVh | 0 dt t 0 一阶对象在阶跃输入作用下，输出变量在输入变量 变化瞬间变化速度最大，随着时间增加，变化速度逐渐 变缓，当时间趋于无穷大时，变化速度趋近于零，这时 输出参数达到新的稳态值。
的输入变量。
多输入单输出对象： 具有多个输入变量，一般只选一个变量做为操纵
变量（u）对被控变量起控制作用，而其余输入变量 都作为扰动变量（fi）。 如图2-1 所示。 多输入多输出对象:
在这样的被控过程（对象）中，执行器和被控变 量的数量（m）是相等的，且大于1 。 如图2-2所示。
通道： 对象的输入变量至输出变量的信号关系称之为通
当受到阶跃干扰作用使平衡状态遭到破坏后，在 不需要任何外力作用（即不进行控制）下，依靠对象 自身的能力，对象的输出（被控变量）便可自发地恢 复到新的平衡状态。
两个有自衡能力的对象在阶跃输人下的响应曲线 分别如图2-5(a）和图2-5(b) 所示。
2．无自衡能力对象的动态特性 如果一个被控对象（或过程）在受到阶跃输入干
大了K 倍，最终变为输出变化量△h(∞)。 Ｋ只与对象从一个平衡状态到另一个平衡状态时
的稳态值有关，而与中间的变化过程无关，所以K是反 映对象静态特性的参数。
(3）时间常数T 在建立单容水槽的数学模型时，定义一阶水槽对
象的时间常数T=AR，即T与水槽的横截面A以及出口阀 门的阻力系数R 有关。
从工艺常识定性知道，在进口流量发生同样变化 的情况下，阀门开度一定，水槽的横截面积越大，储 水能力就越强，惯性也就越大，液位需经较长时间才 能达到稳态值。
△h（t）=K△Q + Ce-t/T
（2-8）
将初始条件△h(t）=0 代入上式，得到
△h（t）=K△Q（1-Ce-t/T ）
（2-9）
上式就是单容对象在阶跃输入作用后，其输出随时间的
变化规律。所有的一阶对象都具有这种动态特性，其阶
跃响应曲线如图2-9 所示。
为了进一步认识一阶对象的特性，可以对式（2-9 作以下分析。
被控对象的特性： 对象的输人变量与输出变量之间的相互关系。
静态特性： 对象的输人变量与输出变量达到平衡时的相互关系。
动态特性： 对象的输出变量在输人变量影响下的变化过程。 对象特性的数学描述则称为对象的数学模型。 过程控制中被控对象的输出变量通常就是控制系统
的被控变量。 所有对被控变量有影响的变量都可看成是被控对象
(2）放大系数K 由式（2-9）可以看出，在阶跃输入△Qi的作用下，
随着时间t→∞，液位将达到新的稳态值，其最终的变化 量为△h（∞）= K△Q，这就是说，一阶水槽的输出变化 量与输人变化量之比是一个常数。即
K Vh() VQ
（2-12）
放大系数K 的物理意义可以理解为： 如果有一定的输入变化量△Q ，通过对象就被放
立，和单容水槽对象的情况类似。
假定对象的输入变量为Qi输出变量为h2，且各变 量都以自己的稳态值为起算点，现在来研究当输入流
量Qi发生阶跃变化时，第二节水槽的液位h2 随时间的 变化情况。
如果对象的输入和输出的变化量相对平衡状态时
都不大，则可以近似地认为，水槽的液位与输出流量
之间具有线性关系，即
Q1=h1/R1
dt
i
o
（2-1）
式中，M 为槽中的储液量。该式的物理意义是槽中
储液量的变化率，为单位时间内液体的流入量与流
出量之差。
若贮槽的横截面A 不变，则有M=Ah。假设在输
, , 入量Qi阶跃变化之前的平衡状态下，液位为h，流人
量和流出量均为QS ，则阶跃变化后这些变量分别为
h h0 Vh
Q Q VQ
i
时间常数T理解为：当对象受到阶跃输人作用后， 对象的输出变量始终保持初始速度变化而达到新的稳 态值所需要的时间。
理论上说，需要无限长的时间，即只有当t→∞ 时，才有△h(∞）=K△Q 。
分别把时间 T,2T,3T和4T代入式（2-9），发现： △h(T) = K△Q(1-e-1）≈0.632K△Q
dt
i
(2-6)
式（2-5）或（2-6）就是描述简单水槽对象特性的数 学模型。它是一个一阶常系数微分方程式。
T为时间常数。 K 为放大系数。
2 一阶对象的特性分析 求单容水槽对象输出h在输入Qi作用下的变化规律，
可以对式（2-5）的一阶微分方程式进行求解。假定输 人变量Qi为阶跃作用，即
则式（2-5）的通解为
一、一阶对象的机理建模及特性分析 1 ．一阶对象的数学模型
当对象的动态特性可以用一阶线性微分方程式来 描述时，该对象一般称为一阶对象或单容对象。
以单容水槽为例，推导一阶对象的数学模型。
图2-8是一个单容水槽的示意图。
液位h 是对象的输出变量流人量Qi是对象的输入变 量。
根据动态物料平衡关系有：
dM Q Q
式（2-30）和式（2-31）所对应的阶跃响应曲线 分别如图2-13的（a）和（b）所示。
§2.3 被控对象的实验测试建模
举例，加深对一阶对象动态特性的理解： 【例题】某一直接蒸汽加热器具有一阶对象特性，
当热物料的出口温度从 70℃提高到80℃ 时，需要 将注入的蒸汽量在原有的基础上增加10％。在蒸汽 量阶跃变化10 ％后，经过1分钟，出口温度已经达 到78.65℃。试写出相应的微分方程式，并画出该对 象的输出阶跃响应曲线。
= 0.632△h（∞） △h(2T) = K△Q(1- e-2）≈0.865K△Q
= 0.865△h(∞) △h (3T）= K△Q(1- e-3）≈0.95K△Q
= 0.95△h(∞) △h(4T)= K△Q (1-e-4）≈0.982K△Q
=0.982△h(∞) 也就是说，在加入阶跃输入后，只需经过3T时间， 液位已经变化了全部变化范围的95％。这时，可以近 似认为动态过程基本结束，即便是按照严格的±2％ 的指标来计算过渡时间，也只需要4T的时间。
反之，水槽的横截面积越小，储水能力就越差， 只需较短的时间就趋向于稳态值。
由此可见，时间常数T是反映对象响应速度快慢的 一个重要的动态特性参数。
T越小，对象输出变量的变化就越快，T越大，对 象输出变量的变化就越慢。 时间常数T的物理意义：
从图 2-9 的阶跃响应曲线可以看出，该曲线在起 始点处切线的斜率，就是由式（2-1１）计算出的液位 初始变化速度△h(∞)/T，这条切线与新的稳态值的交 点所对应的时间正好等于T。
30 dVy Vy Vx dt
该对象的输出阶跃响应曲线如右图所示
二、二阶对象的机理建模及特性分析 1. 二阶对象的数学模型
在过程工业中，有一些对象或元件的特性需用二 阶微分方程式来近似地描述，这类对象称为二阶对象 或双容对象。
以串联水槽为例，说明对象数学模型的建立。
图2-10所示的两水槽串联对象，其数学模型的建
则一阶纯滞后对象的数学模型为
T
dy(t) dt
y(t)
Kx(t
τ）
（2-30）
如果二阶无纯滞后对象的数学模型为
T
1T
2
d 2y(t) dt 2
(T
1
T
)
2
dy(t) dt
y(t)
Kx(t
)
则二阶纯滞后对象的数学模型为
T
1T
2

d 2y(t) dt 2
(T
1
T
)
2
dy(t dt
)
y(t)
Kx（t-τ）
（2-31）
下
VQ Vh 0R
（2-3）
此关系式代入式（2-2）中，经过整理可得到
AR dVh Vh RVQ
dt
i
（2-4）
令T=AR，K=R，则可得到
T dh Vh KVQ
dt
i
（2-5）
如果上式各变量都以自己的稳态值为起算点， 即ho=Qs=0 ，则可去掉式中的增量符号，直接写成