A—水槽截面积 将dV代入
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A

t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
12.如图2-3所示的RC电路中，已知R=5，C=2。试画 出ei突然由0阶跃变化到5V时的eo变化曲线，并计 算出t=T、t=2T、t=3T时的eo值。
t
τ0
图2-19 纯滞后特性
比较两条响应曲线，它们除了在时 间轴上前后相差一个ζ的时间外， 其他形状完全相同。 表示成数学关系式为：
对象特性为一阶微分方程式： 无滞后 有滞后
输 入
y
t
反应器温度控制系统
τ0 τ
τn
t
n—容量滞后
所以滞后时间
0 n
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分， 两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
该对象为具有纯滞后的一阶对象，由图可知放 大系数为：
K 150 120 60 3.0 2.5
（℃h/t）
一阶对象的输出响应：
带入数据，可得： 解此方程：
由于有纯滞后时间：
系统的微分方程为：
当燃料的变化量为0.5t/h时，其输出温度变化量的函数 表达式为：
KA(1 e

1.了解对象的惯性，变化的快慢； 2.T小，输出变化速度快，调节速度也快。反之 T大变 化速度慢，调节速度也慢。因此，时间常数大对控 制不利； 3.时间常数T是一动态参数。
三、滞后时间τ
定义：对象的输入变化后，到控制发生作用时所用 的时间。
传递滞后又叫纯滞后，一般用τ0表示。
加料量
t 浓度
0
图2-19
对象
图2-1 对象的输入输出量
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述 出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。 二、数学模型的表示方法： 1.非参量模型：用曲线、图表表示系统的输入与 输出量之间的关系。 2.参量模型：用数学方程式表示的系统输入与输 出量之间的关系。
意义：
1.放大系数的大小可以说明对象的灵敏度；
2.K大灵敏度高，稳定性下降；
3.K等于常数，是线性对象。
二、时间常数T
h KA(1 e
将t=T代入上式
1

t T
)
Q1 A
h(T ) KA(1 e ) 0.632KA
0
t
h(T ) 0.632h()
当对象受到阶跃输入作用后， 输出达到新的稳态值的63.2% 所需的时间,就是时间常数。
意义： 1.表示对象的惰性；
2.τ大时控制困难。 四、根据阶跃响应曲线作图求特性参数 K、T和τ
Q1
加料量
0 浓度
0
储槽的阶跃响应曲线
纯滞后特性
滞后时间
示意图
习题与思考题
1．什么是对象特性？为什么要研究对象特性？ 2．何谓对象的数学模型？静态数学模型与动态数学 模型有什么区别？ 3．建立对象的数学模型有什么重要意义？ 4．建立对象的数学模型有哪两类主要方法？ 5．机理建模的根据是什么？
6．何谓系统辨识和参数估计？ 7．试述实验测取对象特性的阶跃反应曲线法和矩 形脉冲法各有什么特点？ 8．反映对象特性的参数有哪些？各有什么物理意 义？它们对自动控制系统有什么影响？ 9．为什么说放大系数K是对象的静态特性？而时间 常数T和滞后时间ζ是对象的动态特性？ 10．对象的纯滞后和容量滞后各是什么原因造成的 ？对控制过程有什么影响？
第二章 过程特性及其数学模型
第一节 化工过程的特点及其描述方法 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数
第一节 化工过程的特点及其描述方法
一、对象特性 所谓对象特性是指被控对象的输出随输入及时间变化 的特性。
被控对象的输出量是 自动控制系统的被控变量。
操纵变量
干扰
被控变量
干扰 输入量 操纵变量
Q1
Q1 Q2
h为一不变的常数。用微分方程来 描述对象往往着眼于变化量。
h
2
Q2
Rs
当在某一时刻t1到t2这段时间内Q1 发生变化，Q1＞Q2，这时流入水槽 水量为
Q1
dV (Q1 Q2 )(t2 t1 ) (Q1 Q2 )dt
水位从h1上升到h2
h Rs
Q1
Q2
dV h2 h1 dh A
该水槽具有积分特性，如果以h、Q1分别表示液位和 流入量的变化量，那么就有：
带入已知量，得到h和t之间的函数关系：
h(t ) 0.2t
水槽随时间的变化曲线：
14.为了测定某重油预热炉的对象特性，在某瞬间（假定为 t0 =0）突然将燃料气量从2.5t/h增加到3.0/h，重油出口 温度记录仪得到的阶跃反应曲线如图2-25所示。假定该对 象为一阶对象，试写出描述该重油预热炉特性的微分方程 式（分别以温度变化量与燃料量变化量为输出量与输入量 ），并写出燃料量变化量为0.5t/h时温度变化量的函数表 达式。
h
h(∞)
0.632h(∞)
100%
0 T
t
当对象受到阶跃输入作用后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳定值所需的时间。
t h KQ 1 e T
dh KQ dt t 0 T
h
h
T
t
t
由此可见，时间常数越小，输出的变化快，达到新的 稳态值所需的时间也越短。 意义：
代入边界条件解微分方程
t T
h KQ1 (1 e )
h
h2
0
t1
t
储槽的阶跃响应曲线
3.实验建模
1）阶跃响应曲线法
Q1 B
0
2）矩行脉冲法
Q1
A
t
t
h
y
0
t1
t
t
图2-9 储槽的阶跃响应曲线
矩形脉冲特性曲线
第三节 描述对象特性的参数
一、放大系数K 水槽对象的输入与输出的关系。得微分方程式。K称 为放大系数，
35
) 30(1 e

t 2 3.35
)
其中时间t的取值范围为t≥2
表示RC电路特性的微分方程式：
方程的解为：
eo ei (1 e t / RC )
e0的变化曲线如下：
13.已知一个简单水槽，其截面积为0.5m2，水槽中 的液体由正位移泵抽出，即流出流量是恒定的。 如果在稳定的情况下，输入流量突然在原来的基 础上增加了0.1m3/h，试画出水槽液位Δh的变化 曲线。