第4章 图形变换的矩阵方法
要求：
1.掌握各种图形变换的变换矩阵。 2.掌握图形变换矩阵的一般形式。 3.掌握齐次坐标表示法。
一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象 所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数 情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维 的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从 不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平 移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内 容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上 述功能的算法。 计算机产生图形的过程大致可分为三步：
x (x,-y)
(x,y) O
x
y (x,y)
(x',y')
O
x
(x',y')
y=-x
5
1.关于x轴的对称变换 x'
2.关于y轴的对称变换 x'
y' x
y10
0 1
x
y
y' x y
101
0 1
x
y
3.关于45度平分线的对称变换
x'
y' x
y10
1 0
y
x
4.关于-45度平分线的对称变换 x'
y' x
y01
1
0
y
x
5.关于坐标原点的对称变换 x'
y' x
y01
0 1
x
y
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4.1.3 错切变换
（1）沿X轴方向错切 （2）沿Y轴方向错切
(x,y) (x',y')
(x,y) (x',y')
1.沿X轴方向的错切变换
x' y' x
沿x轴方向的错切变换 沿y轴方向的错切变换
y 1c
cy
y
(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;
(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;
(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段
(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平 移了一段距离。
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4.1.4 绕坐标原点的旋转变换
x' OP cos( )
OP(cos cos sin sin )
2
4.1 二维图形变换
1.二维平面上点的表示法 2. 图形变换的矩阵表示
一对坐标(x,y) 一个向量[x y]
改变顶点坐标, 也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。
设: 点P(x,y)
x ' ax cy
点P ’(x’, y’) 其数学表达方法
y' bx dy;
矩阵表达方法
变换矩阵
x=X/H y=Y/H z=Z/H
能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述
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4.1.7 二维图形变换矩阵的一般形式
比例、反射、旋转、错切 投影变换
二维图形变换矩阵的通式T:
a b p
T
c
d
q
m n s
平移
a b p
x'
y'
H ] [x
y
1] c
d
q
m n s
H px qy s y' bx dy n
图形输入
图形处理
图形输出
计算机对图形数据进行处理，就是图形处理。
图形变换 --- 就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),
同时保持图形的原拓扑关系不变.
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线框图的变换——通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列 的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。
用参数方程描述的图形的变换——通过参数方程作几何变换实现。 我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图
如：空间点[x y z] 用 [X Y Z H]表示
H可以任意选取, 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。
如二维平面上的一点[3,4],
用齐次坐标表示为[3,4,1]
[6,8,2]
[1.5,2,0.5]
通常将H=1的齐次坐标称为 正常化齐次坐标
怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标? 齐次坐标表示点，可以防止溢出
的变换。
几何变换 又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位
图形变换
置、形状
投影变换
几何变换 投影变换
基本变换 变位变换 ：旋转、 镜像、 周分布、 阵列、 变形变换 ：比例、 错切
组合变换 ：上述变换的连续实施
正投影变换 中心变换 斜投影变换
：三面正投影图、轴测图 ：透视图 ：斜轴测图
由于显示器和绘 图机只能用二维空间 来表示图形，要显示 三维图形就要用投影 方式来降低其维数。
总体比例变换
齐次化坐标
x' ax cy m px qy s
y' bx dy n
px qy s
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4.1.8 二维组合变换
x cos y sin
y' OP sin( )
OP(sin cos cos sin )
x sin y cos
其矩阵表示法：
x' y' [x
y]
cos sin
sin
cos
x cos y sin xsin y cos
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4.1.5 平移变换
变换过程为：
x’=x＋l y’=y+m
变换矩阵为
1
l
m
x
1
y
1 0
如变换矩阵改为： 0
1
则点的坐标（x,y)
l m
y (x',y')
(x,y)
O
x
（x,y,1)
P’=P*T= x y
1 0
1 0
1
=
x l
l m
ym
1
10
4.1.6 齐次坐标与变换通式
它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法 如：二维点[x y] 用 [X Y H]表示
0 1
x
cy
y
(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;
(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段
(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。
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2. 沿Y轴方向的错切变换
x'
y' xSx Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀 比例变换。
Sx 0
x ' y '
x y
0
Sy
图形变化：原有图形放大或缩小的变换
Sx ＝1, Sy>1
参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。 4
4.1.2 对称变换
y
y
y=x
(-x,y)
(x,y)
O (-x,-y)
变换后的位置矢量矩阵
x'
y' x
y
a c
b
d
ax
cy
bx dy
位置矢量矩阵
3
4.1.1 比例变换
y
就是将图形放大或缩小的变换方法。
变换式为：
x’=Sx* x y’=Sy* y
(x',y')
(x,y)
O
x
讨论：1. Sx ＝Sy＝1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换 2. Sx ＝Sy>1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。 3. Sx ＝Sy<1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。