专题强化训练(十七) 数 列1．[2019·唐山摸底]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝3a n －12. (1)求a n ；(2)若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1， 化简得a n ＝3a n －1(n ≥2)， 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1. (2)b n ＝(n －1)3n －1，T n ＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1，③ 则3T n ＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n .④ ③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)×3n ＝3－3n 1－3－(n －1)×3n ＝(3－2n )×3n －32. 所以T n ＝(2n －3)×3n ＋34. 2．[2019·安徽示范高中]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n＝2－a n ，n ＝1,2,3，….数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝n (3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2，∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2，∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减得a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0，即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0，故有2a n ＋1＝a n ，由S n ＝2－a n ，知a n ≠0， ∴a n ＋1a n＝12(n ∈N *)．∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加得，b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2. 又b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)，当n ＝1时也满足上式，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ∈N *)．(2)∵c n ＝n (3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1]．①12T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ]．② ①－②得，12T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1]－2×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)，T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝8－(8＋4n )×12n (n ＝1,2,3，…)．3．[2019·洛阳统考]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 3＋a 9＝22，且a 5，a 8，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋10d ＝22(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )， 解得a 1＝1，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝2n 2＋2n 2n ＋1.4．[2019·石家庄质检]已知{a n }是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由a 2＋a 3＝12及a 1＝1，得q ＋q 2＝12， 解得q ＝3或q ＝－4. 因为{a n }的各项均为正数，所以q >0，所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. (2)b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).5．[2019·济南质量评估]已知数列{a n }是递增的等差数列，满足a 2＋a 3＋a 4＝15，a 2是a 1和a 5的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 3＋a 4＝15得a 3＝5，由a 2是a 1和a 5的等比中项，得a 22＝a 1·a 5， 所以(5－d )2＝(5－2d )(5＋2d )，解得d ＝0或d ＝2， 因为数列{a n }为递增数列，所以d ＝2. 又a 3＝5，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 6．[2019·郑州质量预测一]已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12得 log 2(a 1a 2a 3)＝12， ∴a 1a 2a 3＝212.设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝4，∴a 1a 2a 3＝4·4q ·4q 2＝26·q 3＝212， 计算得q ＝4.∴a n ＝4·4n －1＝4n .(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n ·2(n ＋1)＋4n ＝1n (n ＋1)＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n .设数列{1n (n ＋1)}的前n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，设数列{4n }的前n 项和为B n ，则 B n ＝4－4n ·41－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)．7．[2019·长沙四校一模]已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝12，S 3＝32.(1)求数列{a n }的公比；(2)对于数列{S n }中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差数列？解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)， 由a 3＝12，得a 1＝a 3q 2＝12q 2，a 2＝a 3q ＝12q . 由S 3＝32，得a 1＋a 2＋a 3＝32，所以12q 2＋12q ＋12＝32，解得q ＝1或q ＝－12.(2)当q ＝1时，a 1＝12，S n ＝12n ，S n ＋1＝12(n ＋1)，S n ＋2＝12(n ＋2)，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，即S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，所以当q ＝1时，数列{S n }中任意连续的三项S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列．当q ＝－12时，a 1＝2，S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， S n ＋1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫－12n ＋1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12×⎝⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋2＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋2＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋S n ＋1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋ 43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝83－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，2S n ＋2＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14×⎝⎛⎭⎪⎫－12n ＝83－23×⎝⎛⎭⎪⎫－12n ，所以2S n ＋2＝S n ＋S n ＋1，即S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列，所以当q ＝－12时，数列{S n }中任意连续的三项S n ，S n ＋1，S n ＋2，按照顺序S n ，S n ＋2，S n ＋1排列，成等差数列．8．[2019·河北九校联考]已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1，①当n ＝1时，由①式可得S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式，得 2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1.所以{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列， S 2n ＝1＋n －1＝n .因为{a n}的各项都为正数，所以S n＝n，所以a n＝S n－S n－1＝n－n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1，所以a n＝n－n－1.(2)b n＝(－1)na n＝(－1)nn－n－1＝(－1)n(n＋n－1)，当n为奇数时，T n＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n－1＋n－2)－(n＋n－1)＝－n；当n为偶数时，T n＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n－1＋n－2)＋(n＋n－1)＝n.所以{b n}的前n项和T n＝(－1)n n.。