高三年级第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1．已知M={x|y=x ，x ∈R}，}R x x y |y {N 2∈==，，则M ∩N 等于（ ）A ．{（0，0），（1，1）}B ．{ x|x ∈R }C ．{y|y ≥0}D ．φ2．已知集合A={a ，b ，c}，集合B={m ，n}，设映射f ：A →B 。

如果集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的象，那么这样的映射f 有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个3．奇函数y=f(x)（x ∈R ）有反函数)x (f y 1-=，则必在)x (f y 1-=的图象上的点是（ ）A ．（-f(a)，-a ）B ．))a (f a (1--，C ．（-f(a)，a ）D ．))a (f a (1-，4．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，x )31()x (f =，那么)21(f 的值是（ ）A ．33 B ．3 C ．3- D ．9 5．函数)x x 6(log )x (f 231--=的单调递减区间是（ ）A ．），∞+-21[ B ．]21-∞-，（ C ．），2 21[- D ．]213--，（ 6．定义在R 上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F(x)在（-∞，0）上的最小值为（ ）A ．-10B ．7C ．-7D ．-47．若把函数y=f(x)的图象做平移，可以使图象的点P （1，0）变换成点Q （2，2），则函数y=f(x)的图象经过此变换后所得图象对应的函数为（ ）A ．y=f(x-1)+2B ．y=f(x-1)-2C ．y=f(x+1)+2D ．y=f(x+1)-28．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，那么a 与b 不可能（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直 9．圆台上、下底面面积分别为22cm 49cm 1和，平行于底面的截面面积为2cm 25，那么截面到上、下底面距离之比为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：310．圆锥的高h=8，它的侧面展开图的圆心角是216°，那么这个圆锥的全面积是（ ）A ．96πB ．24πC ．84πD ．60π11．正四棱台1111D C B A ABCD -下底面为ABCD ，上底边长：侧棱长：下底边长=1：2：3，侧面对角线11BC AD 与所成角的余弦值为（ ）A ．73B ．6524C ．73- D ．75 12．三棱锥A-BCD 的高a 33AH =，H 为底面△BCD 的垂心，若AB=AC ，二面角A-BC-D 等于60°，G 为△ABC 重心，则HG 的长为（ ）A ．a 10B ．a 7C ．a 6D ．a 5二、填空题（本大题共有4道小题，每小题4分，共16分）13．若2x )1x (f =+（x ≤0），则)x (f 1-=_______________。

14．（如右图）矩形ABCD 边长分别为15，20，PA ⊥平面ABCD ，则点P 到CD 边的距离为_______________；点P 到BD 的距离为_______________。

15．（理科做）球外切圆台的上、下底半径分别为1和3，则球的体积是_______________。

（文科做）二面角内有一点，它到两个面的距离相等，并且等于它到棱的距离的一半，这个二面角的度数为_______________。

16．若f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x-2)=-f(x)，给出下列四个结论：①f(2)=0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于直线x=0对称；④f(x+2)=f(-x)。

其中所有正确结论的序号是_______________。

三、解答题（本大题共有6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，那么f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数？写出你的推理过程。

18．如图，三棱锥P-ABC 的底面△ABC 内接于圆O ，PA 垂直于圆O 所在的平面。

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC 。

（2）若PA ：PB=4：3，65ABC cos =∠，求直线PB 和PAC 所成角的大小。

19．已知关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有实数解，求实数a 的取值范围。

20．已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为4的正方形，PD ⊥底面ABCD ，若PD=6，M ，N 分别是PB ，AB 的中点。

（1）求证：MN ⊥CD ；（2）求三棱锥P-DMN 的体积；（3）求二面角M-DN-C 的平面角。

（文科不做第（3）问）21．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获的利润依次是P 万元和Q 万元，它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出：x 53Q x 51P ==，，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应为多少才能获得最大利润？22．（理科做）已知函数)ka a (log )x (f y x a -==（0<a ≠1，k ∈R ）。

（1）当0<a<1时，若f(x)在[1，+∞]内有意义，求k 的取值范围；（2）当a>1时，若f(x)的反函数就是它本身，求k 的值；（3）在（2）的条件下，解方程)x (f )2x (f 21=--。

（文科做）设函数y=f(x)满足lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)，（1）求f(x)的表达式；（2）求f(x)的值域；（3）求f(x)的单调区间。

参考答案：一、选择题（每小题5分，共60分）1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A 10．A 11．D12．B 二、填空题（每小题4分，共16分）13．014．343；1515．π34；60°16．①②④三、解答题（共6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．解：设0x x 21<<<∞-，则+∞<-<-<12x x 0∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴)x (f )x (f 12-<-又f(x)是奇函数，∴)x (f )x (f 12-<-∴)x (f )x (f 21<故f(x)在（-∞，0）上是增函数18．证（1）∵PA ⊥平面ABC ，ABC BC 平面⊂∴PA ⊥BC又∵AB 是⊙O 的直径∴BC ⊥AC∴BC ⊥平面PAC又PBC BC 平面⊂∴平面PAC ⊥平面PBC（2）∵BC ⊥平面PAC∴∠BPC 为PB 和平面PAC 所成的角设PA=4k ，AB=3k ，则PB=5k∵65ABC cos =∠， ∴2k 5ABC cos AB BC =∠⋅= 在Rt △PCB 中，21PB BC BPC sin ==∠ ∴∠BPC=30°为所求19．解：原方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+--=<<413)25x (a 3x 12 由其图象易得当]413 1(a ，∈时，原方程有解20．（1）∵PD ⊥平面ABCD∴PD ⊥CD又CD ⊥DA ，∴CD ⊥平面PDA∴CD ⊥PA又∵M 、N 分别是PB 、AB 的中点∵MN ∥PA∴MN ∥CD（2）设AC ∩BD=0，连MO 、PN∵MO ∥PO∴MO ⊥平面ABCD 且3PD 21MO ==∵N 是AB 的中点， ∴4821S 21S ADB NDB =⨯==∆∆ ∴4)36(431)MO PD (S 31V V V DNB DNB M DNB P DMN P =-⨯⨯=-=-=∆--- （3）过O 作DN 作垂线OK ，垂足为K ，连ON ，MK则MK ⊥ND∴∠MKO 是二面角M-DN-C 的平面角 ∵2421S 21S DNB ODB =⨯==∆∆ 又52AN AD DN 22=+= ∴525222DN S 2OK DNO =⨯==∆ ∴253OK MO OKM tg ==∠ ∴253arctg OKM =∠为所求。

21．解：设投入乙种商品的资金为x 万元，则投入甲种商品的资金为（3-x ）万元。

依题意，甲种商品可获利)x 3(51P -=万元，乙种商品可获利x 53Q =万元，共获利为 )3x 3x (51x 53)x 3(51Q P y ++-=+-=+= ]421)23x ([512+--= 当23x =，即49x =时 2021y max =（万元） 43x 3=- 答：甲种商品投入0.75万元，乙种商品投入2.25万元，可获得最大利润1.05万元。

22．（理科）解：f(x)在[1，+∞）内有意义， 即0ka a x >-时x ∈[1，+∞）均成立，即1x x )a 1(aa k -=<时x ∈[1，+∞）均成立 ∵0<a<1，∴1a1> ∴1x )a1(-在[1，+∞）上是增函数， 当x=1时，其最小值为1，∴当k<1时，f(x)在[1，+∞）内有意义（2）显然k ≠0， 从而ka a lg x k a a a ka a a )ka a (lg y ya y xx y x a -=⇒-=⇒-=⇒-= ∴k a a lg )x (f x a 1-=- 为使)x (f )x (f 1=-对f(x)定义域内的一切x 都成立， 则k a a ka a xx-=-， 整理得0a ak a )1k (x 2=+--对定义域中的一切x 都成立 ∴1k 0a ak 01k 2=⇒⎩⎨⎧=+-=- 此时)a a (lg )x (f )x (f x a 1-==-（x<1）（3）由a>1，12x 2<-<∞-及x<1得1x 3<<- )a a (lg )a a (lg )x (f )2x (f x a a xa 212-=-⇔=---1x 1x 302x x 2-=⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--⇔ ∴原方程有唯一解x=-1（文科）解：（1）x 9x3210)x (f +-=（0<x<3） （2）令427)23x (3u 2+--=，当x ∈（0，3）时，]427 0(，∈ ∴42710)x (f 1≤<（3）f(x)在]230(，上递增，在]3 23(，上递减。