第三章 几种横向自适应滤波算法及其改进研究3.1 自适应横向滤波器的定义及其性能函数3.1.1 横向自适应滤波器横向自适应滤波器是一类基本的自适应滤波器形式[8]。

所谓自适应实现是指：M 阶滤波器的抽头权系数01,...,M w w -，可以根据估计误差()e n 的大小自动调节，使得某个代价函数最小。

令()W n 表示图2.1中的滤波系数矢量，011()[(),(),...,()]M W n w n w n w n -=，滤波器抽头输入信号矢量()[(),(1),...,(1)]U n u n u n u n M T =--+，显然，输出信号()y n 为10()()()()M i i y n wu n i W n U n -T ==-=∑ (3-1)式中T 表示转置。

利用图2.5中的输出信号和输入信号之间的关系，误差序列()()()()e n d n W n U n H =- (3-2)显然，自适应滤波器的控制机理是用误差序列()e n 按照某种准则和算法对其系数()W n 进行控制的，最终使自适应滤波的目标（代价）函数最小化，达到最佳滤波效果。

按照均方误差（MSE ）准则所定义的目标函数是：22()(){|()|}{|()()|}defJ n n E e n E d n W U n ξH ===- (3-3) 将式（3-1）代入式（3-3），目标函数可以重新写为2[()]2[()()()][()()()()]E d n E d n W n U n E W n U n U n W n ξH H H =-+ (3-4) 当滤波器的系数固定时，目标函数可以写为2[()]2E d n W P W RW ξT T =-+ (3-5)其中，[()()]R E U n U n T =是输入信号的自相关矩阵，[()()]P E d n U n =是期望信号和输入信号的互相关矢量。

3.1.2 自适应滤波器的性能函数习惯上称均方误差2[|()|]E e n 为自适应滤波器的性能函数，并记为ξ、J 或者MSE ，即2[|()|]J MSE E e n ξ=== (3-6)由式(3-5)知，当输入信号()u n 与期望信号()d n 为平稳随机过程时，性能函数ξ为权矢量W 的二次函数。

二次均方误差函数的曲面形式为一碗状抛物面，当权矢量的维数大于2时，性能函数为一抛物面形式，且其抛物面上有唯一的全局最优点。

当自相关矩阵为正定的，超抛物面向上凹起（即碗口朝上），表示均方误差函数有唯一的最小值，该最小值所对应的权系数矢量为自适应滤波器的最佳权系数opt w ，即等于维纳滤波器的权矢量。

3.1.3 二次型性能表面的搜索在性能表面上搜索的目的是找出性能函数的最小值，并由此得到最小值所对应的最佳权矢量。

这样，二次型性能表面搜索最小值的问题，在数学上就转化为求取曲线和曲面的机制问题。

常用的性能表面搜索的方法为梯度下降的迭代算法，例如牛顿法和最速下降法[9]。

1. 最速下降法最速下降法是一种古老而又非常有用的通过迭代寻找极值的方法。

从几何意义上讲，迭代调整权矢量的结果是使系统的均方误差延梯度的反方向下降，并最终达到最小均方误差min ξ。

在最小均方误差实现时，权矢量变为最佳权矢量opt w 。

它的优点是简单，但需要大量的迭代，才能使算法收敛于充分接近最优解的点。

2. 牛顿法牛顿法是一种通过迭代寻找函数()f x 的过零点的数学方法，即求()0f x =的解。

假定()f x 为变量x 的一元函数，牛顿法的求解过程为：由初始估值0x 开始，利用()f x 的一阶导数在0x 点的值'0()f x 来计算新值1x ，即010'0()()f x x x f x =- (3-7) 然后，再利用1x 的导数'0()f x 和()f x 来计算下一步的估值2x ，其一般的迭代公式为1'()()k k k k f x x x f x +=-，0,1,k= (3-8) 而'11()()()k k k k k f x f x f x x x ---=-这样牛顿法可以表示为111()()()k k k k k k k x x x x f x f x f x -+--=--，0,1,k= (3-9)要注意的是牛顿法的收敛对一大类函数是相当快的，但它的缺点是计算量大。

3.2 最小均方算法3.2.1 最小均方算法最小均方（LMS ）算法是一种梯度最速下降算法，它以期望响应()d n 和滤波器输出信号*()()()y n u n w w u n T H ==之间误差的均方值2[|()|]E e n 最小为准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数达到最优的自适应迭代算法。

令()()()e n d n w x n H =- (3-10)LMS 算法进行梯度估值的方法是以误差信号每一次迭代的瞬时平方值代替均方值，并以此来估计梯度，即22201()()()()[,,,]()()()M e n e n e n n w n w n w n Λ∂∂∂∇=∂∂∂ (3-11) 若写成矢量形式，有2()()()e n n w n Λ∂∇=∂ (3-12) 将式（3-10）代入式(3-11)得到()()2()2()()()e n n e n e n x n w n Λ∂∇==-∂ (3-13) 用梯度估值()n Λ∇来代替最速下降法中的梯度真值()n ∇，有(1)()(())()2()()w n w n n w n e n x n μμΛ+=+-∇=+ (3-14) 式中，μ为自适应滤波器的收敛因子。

上式即为著名的LMS 算法滤波器权矢量迭代公式。

可以看出，自适应迭代下一时刻的权系数矢量可以由当前时刻的权系数矢量加上以误差函数为比例因子的输入矢量得到。

图3.1给出了实现LMS 算法的流程图。

图3.1 LMS 算法的流程图[9]3.2.2 LMS 算法性能分析1. LMS 算法的收敛性式（3-14）中的收敛因子μ应满足以下收敛条件max 10μλ<< (3-15)式中，max λ为自相关矩阵R 的最大特征值。

由于max ()tr R λ≤，因此，上式可以改写为10()tr R μ<<(3-16) 或者10(1)inM P μ<<+ (3-17) 式中，in P 为输入信号的功率。

通常式(3-17)比式(3-16)常用。

因为输入信号的功率比其自相关矩阵的特征值更容易估计。

2. 自适应学习曲线若将代价函数式(3-5)中权向量作代换，即opt V W W =- (3-18)并称它为权偏差向量。

于是2()[()][][]2[]H opt opt opt V E d n V W R V W P V W ξT =+++-+2[()][]2H H opt opt opt E d n P W V R V W W RV P V T T =-+++-min H V RV ξ=+ (3-19)自适应权值的调整过程对系统的输出有影响，假定ξ就表示权固定在k w 时的输出均方误差，则由上式知：2min ()k opt w w ξξλ=+- (3-20)通常把权值迭代索引器的均方误差由初值0ξ到最小值min ξ的弛豫过程称为自适应系统的“学习”过程，而把由此产生的均方误差瞬时值变化曲线称为“学习曲线”，它表明了迭代过程中均方误差减小并趋于最小值的变化情况。

LMS 自适应滤波器自问世以来，受到人们普遍的重视，得到了广泛的应用。

这种滤波器的主要优点是收敛性能稳定，且算法比较简单。

然而，作为梯度算法的一种，LMS 算法有其固有的缺点，首先，这种算法一般来说不能从任意初始点通过最短的路径到达极值点；其次，当输入信号自相关阵R 的特性值在数值上分散性较大时，这种方法的性能趋于恶化。

3.3 关于LMS 算法性能的仿真验证我们结合自适应滤波器的应用来对LMS 算法的性能进行仿真验证。

仿真（一）：我们使用一阶自回归过程来研究实时数据集平均对LMS 算法瞬态特征的影响。

考虑一阶AR 过程，其差分方程为()(1)()u n au n v n =--+ (3-21) 这里a 是这个过程的参数，()v n 是零均值方差为2v δ的白噪声。

为了估计参数a ，我们使用图3.2的一阶自适应预测器，预测器抽头权值的LMS 自适应算法形式表示如下(1)()(1)()w n w n u n f n μ∧∧+=+- (3-22)其中()()()(1)f n u n w n u n ∧=-- (3-23)是预测误差图3.2一阶自适应预测器实验条件为：1）AR 参数：a =-0.99；2）AR 过程()u n 的方差：2v δ=0.93627。

图3.3为均方预测误差2()f n与迭代次数n的关系图，其中μ=0.05。

由图3.1可见，LMS算法单一实现的学习曲线呈现严重噪声的形式。

这幅图也包括100次独立实验后集平均得到的2[()]E f n的相应图形。

LMS算法学习曲线集平均的平滑效应体现的一清二楚。

图3.3 LMS算法的学习曲线图3.4是在变步长参数μ[所用的μ为0.01、0.05、0.1]的情况下，LMS算法的学习曲线的图形。

而且，集平均在100次独立试验后完成。

图3.4 不同步长对LMS算法收敛特性的影响从图3.4可看到如下结果：(1) 当步长参数μ减小时，LMS算法的收敛率响应减小。

(2) 步长参数μ减小也影响学习曲线的变化。

仿真（二）：自适应均衡。

用于研究LMS算法性能的自适应均衡系统仿真模型如图2.9所示。

仿真时，信道采用升余弦脉冲响应来模拟[6]：20.51cos (2)1,2,30()n n W h n π+-==⎧⎧⎫⎡⎤⎪⎨⎬⎢⎥⎨⎣⎦⎩⎭⎪⎩其他 (3-24) 该脉冲响应关于2=n 对称。

参数W 是一个可调参数，调整W 可以改变信道性。

表3.1给出了自适应均衡器为11抽头,不同W 对应的特征值分散。

信道失真增大，特征值扩散度变大。

表3.1 W 值与特征值分散的对应关系1 信道失真参数W （特征值扩散度）对系统的收敛性和稳态性的影响。

步长参数固定为μ=0.075。

选择这个值的根据是：μ必须小于max 1λ，其中max λ表示相关矩阵R 的最大特征值。

对于每一个特征值扩散度，经过200次独立实验，通过瞬时均方误差2()e n 与n 的关系曲线平均，可获得自适应滤波器集平均学习曲线。

这个计算结果如图3.5所示。

平均M S E 迭代次数特征值扩散度的影响图3.5 不同特征值扩散度对应的LMS 算法的学习曲线由图3.5可见，特征值扩散度变化范围的扩大降低了均衡器的收敛速率，同时也提高了平均平方误差的稳态值。