y
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
z
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平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
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举例说明
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这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
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有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
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§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
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其中k为与截面及泊松比µ 相关的函数,可从弹性理论推导得到
假设变形场的整体势能为：
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Y X
○ ○ ○
x
x y
○
○
P
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杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的 杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y 轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
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除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
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几种方法避免产生剪切闭锁
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分点数
假设剪切应变 替代插值函数
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内部力
其中假设
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实际上τxz采用以下形式：
其中变量与z相关。
为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应 力：
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3-D Elastic Beam
six degrees of freedom at each node BEAM4 is a uniaxial element with tension, compression, torsion, and bending capabilities.
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挠度与转动采用了同阶的插值表示式。 dw/dx 与ψ不同阶，因此，泛函中的第二项 中的dw/dx-ψ的积分，对于柔性梁（l/n 趋于 无穷大时）会被严重放大。
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Timoshenko 梁 （采用精确积分）
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Pj —— 集中荷载; Mj —— 弯矩力偶。
e.g. 对于均匀分布荷载
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§3. 铁木辛柯梁理论 3.1 理论
This element is well-suited for linear, large rotation, and/or large strain nonlinear applications.
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§2. 经典梁单元 (Bernoulli-Euler) Beam ： 梁在纯弯曲时的平面假设 平面－梁－假设 Plane-beam-assumption 梁的各个横截面在变形后仍保持为平
面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截
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BEAM189 3-D Quadratic Finite Strain Beam BEAM189 is a quadratic (3-node) beam element in 3-D. For a description of the low-order beam, see BEAM188.
BEAM24 3-D Thin-walled Beam The element has plastic, creep, and swelling capabilities in the axial direction as well as a user-defined cross-section. BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
小变形理论 面绕某一轴旋转了一个角度。 One-variable beam theory 几何关系
中面法线在变形后仍保持和中面垂直的直法线假设
物理关系（应力应变关系）
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平衡方程 边界条件
or or where k —— 曲率 M, Q —— 弯矩，剪力
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采用缩减积分
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结构离散
取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承 的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求单元两端点号差最小。
对剪切变形的影响
只考虑剪切变形
变形后轴线切向与变形前轴线之间的转角 β( x).
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β( x) 相应给出沿着中线剪切角 γxz
其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角. 假设 : 截面上均匀分布剪应变 弯曲产生的位移：
BEAM188 3-D Linear Finite Strain Beam BEAM188 is suitable for analyzing slender to moderately stubby/thick beam structures. This element is based on Timoshenko beam theory. Shear deformation effects are included.