蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。
= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。
=k(x —x。
)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。
北二a,且 y 。
rb ），所以可设两个切点分别是 A （^,yj, B^, = 0）.得直线AB ：竽.•缪=1，切线PA :a bxx+*=1,PB: 2 .2 a ba榔忙1 •所以: 所以k PA k PB -b 2x j-2~b 2x 2~2~I a % 人 a y 2 丿 a ym4b竺k kb 4~4k oA k oBak PA k PB2 2因为点（X, yj （i =1,2）既在曲线丨：冷•占=1上又在直线a b2 22L 吐 a 2 b 2Xix 2 ^x 2上，所以-a 2) =0gB 工 x 1x 2 .4,22、b (X 0 -a )b 4 4a4,2,2a (y ° -b )k PA k PBk PA k PB2 .2y ° -b 2-a2XoPA_ PB =2 2 2y 。
a b2-1 • A 版》由此，可得 进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理 引理1 （椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学•选修（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76页）从椭圆的一个焦点发出的光 线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图1所示）.422a (y ob )C 2.22a b x °y °P 作.£PF 2的外角平分线所在的直线 证明 如图2所示，设P 为椭圆丨（其左、右焦点分别是 F I ,F 2）上任意给定的点，过点1（. 3=/4）.先证明丨和丨相切于点P ，只要证明IPF ^--|PF ^ |PF i |—|PF | |E F | |F i P • PF | |PF iPF 2再过点P 作.F i PF ?的平分线PA （. 1二.2），易得PA _ I ，入射角等于反射角，这就 证得了引理1成立•引理2过椭圆'（其中心是点0,长半轴长是a ）的任一焦点F 作椭圆-的任意切线I 的 垂线，设垂足是 H ，则0H 二a.证明 如图3所示，设点F ；F 分别是椭圆-的左、右焦点， A 是椭圆丨的切线I 上的 切点，又设直线 FH,FA 交于点B .图1得PF |[PF ?，还由引理1，得乙FAH Z lA^ ：ZBH （即反射角与入射角的余角相等），进而可得厶FAH 也BAH，所以点 H是FB的中点，得 0H是.BFF的中位线•又AF| | AB，所以1 10H 匕（FA AB）匕（FA AF）=a.引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和证明由余弦定理可证（这里略去过程）.引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，贝U PA2亠PC? - PB2亠PD2•证明如图4所示，设矩形ABCD的中心是点0 .由引理3，可得2 2 2 2 2222PA PC =2（0A 0P）=2（0B OP ）二PB PD即欲证成立.注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等.定理1的证法3可不妨设a 0,b 0 •当 a =b时，易证成立•下面只证明a b的情形•如图5所示•设椭圆的中心是点 0,左、右焦点分别是 F I,F2，焦距是2c，过动点P的两条切线分别是 PM,PN .图5连结OP ,作OG _PM,OH _PN ,垂足分别是G,H •过点F i作FQ_PM ,垂足为D , 由引理2得OD二a .再作 F i K _0G 于K •记.OF i K - V,得 DG 二 F’K 二ccosr .2 2 2由 RtZi ODG，得 OG =OD - DG =a2—c2cos2日.又作F?E —PN’F Q L _0H ,垂足分别为E,L .在 Rt OEH中，同理可得OH| |OE||HE =a2-C2si nJ.(1)若PM _ PN，得矩形OGPH，所以OP| |OG|--|OH=(a2 -c2 cos2 r) (a2—c2si nJ) =a2 b22o2⑵若OP =a +b，得OP2 =(a2 -c2 co$ 日)+(a2 -c2sin2。
)= OG2+ OHo o o由OG 丄PM，得OP =|0G +GP ，所以GP = OH同理，有OG = HP，所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩形，所以PM _ PN .由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2- y2=a2 b2.定理1的证法4 可不妨设a 0,b 0 .当 a二b时，易证成立.下面只证明a b的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点 0,左、右焦点分别是F1,F2，焦距是2c，过动点P的两条切线分别是PA,PB，两切点分别为A, B .及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得PF 1 2+PM2PF 1 2+ PF 22=2(OF 』2+|Op2)=2(c2+|Op2)分别作右焦点 F 2关于切线 PA, PB 的对称点 M , N ，由椭圆的光学性质可得三点F 1, A, M 共线（用反射角与入射角的余角相等 ）•同理，可得三点B, N 共线.MF^|NF 1.(1)若 PA _ PB ，得 MPF 「 NPF j =2(. APF 2 BPF 2) =180 ，即三点 M , P,N共线.又PM| =|PF 2=|PN ，所以PF 1丄MN ，进而得2 2 2 24a^|MF 1 =|PF , + PM =2(c 2+ OP)OP|2 =a 2 +b 22 2 2⑵若OP =a2+b 2，得PF 「+ PM|2=2(c 2+OP 2) =2(c 2+a 2+b 2)=4a 2= MF 12所以PR _ PM=2a ，所以由0是F 1F 2的中点,同理，可得PF— PN .所以三点M, P,N共线.1得.APB r/APF? BPF2( MPF2NPF2) =90，即PA_ PB.2由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2 y^a2 b2.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设a .0,b .0 .当a =b时，易证成立.下面只证明a .b的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点 O,左、右焦点分别是 F i, F2，焦距是2c，过动点P的两条切线分别是 PA,PB，切点分别是 A, B .设点F1关于直线PA, PB的对称点分别为 F1 ,F2，直线Ff 与切线PA交于点G，直线F1F2与切线PB交于点H .得 AF^|AF1, BF^|BF1，再由椭圆的定义，得 F1 F2= F2 F2 =2a，所以 OG| = OH| =a.2 2 2 2因为四边形PGF’H为矩形，所以由引理4得OF」+0P =OG +OH| =2a2，所以OP -a2b2，得点P的轨迹方程是x2 y2 =a2 b2.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：2 2定理2 (1)双曲线笃-乂y "(a b 0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆a b2 2 2 . 2x y a -b ；2(2)抛物线y =2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线2 2 2定理3 (1)椭圆务■占=1(a b 0)的两条斜率之积是-—的切线交点的轨迹方a b a⑵双曲线2 2 十. 定理4过椭圆 2廿1(a b 0)外y 2—-y- =1（a 0,b . 0）的两条斜率之积是 —的切线交点的轨迹方程是 b a2 2 2 2务 每=2（a b ■ 0）上任一点P （x 。
，y 。
）作椭圆 笃•爲=1的两条 a ba b(_a, b),( -a,-b))；要去掉四个点（_a,b ）, （_a,-b ））；外的部分（但要去掉四个点（_a,b ）, （_a,-b ））;-b 2X2⑤当2时，-即双曲线——a2ba -b a -一2 2程是二耸=2 ；a b切线，则⑴当X 。
二a 时，所作的两条切线互相垂直;⑵当X o -二a 时，所作的两条切线斜率之积是b 2~ .a定理5 （1）椭圆=1（a b 0）的两条斜率之积是‘（■ = 0）的切线交点的轨迹2即椭圆 X 2b a -+—— b 22y n 2- 1a=1（但要去掉四个点b2③当’--飞时，】即两条直线ab y 二 -X 在椭圆a2 X ~2 a 2丄 b 2=d （a b 0）外的部分（但b 2④当0 ：；■：：：与时，丨即双曲线a2yb a2 21在椭圆笃工 b 2a ax 2b 2=1(a b 0)①当②当③当■叮一1 或-1 :::■b2-y时，丨即椭圆a2x2 b2a2丄1 -/-a - - b的部分（但要去掉四个点（_a,b）,（_a,_b））.2 2⑵双曲线笃y2=1（a b . 0）的两条斜率之积是（=0）的切线交点的轨迹:是:a b——-1时，丨即圆x2• y2二a2—b2；2 20时，〕即双曲线x2 _—y- =1 ；2 b ha2+b2a2⑶抛物线y = 2 px的两条斜率之积是④当b2-■ ::: 0时，】不存在. a■ （■ = 0）的切线交点的轨迹-是:（北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知. 2 2l_O:x +y =1 •若直线y=kx+2上总存在点P ，使得过点P 的LI O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是解 （一心,-1卩［1「在图8中，若小圆（其圆心为点O ,半径为r ）的过点A 的两条切线AB, AD 互相垂直（切点分别为E, F ），得正方形 AEOF ，所以OA = J2|OE = J2r ， 即点A 的轨迹是以点 O 为圆心，＜2r 为半径的圆①当②当■ 0时，丨的方程为x = P图82 2由此结论可得：在本题中，点P在圆x y = 2上•所以本题的题意即直线y=kx，2与,__ 2 2圆x y =2有公共点，进而可得答案。