蒙日圆及其证明
高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的一个焦点为
(1)求椭圆的标准方程；
C (2)若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P C 的轨迹方程．
答案：(1)22
194
x y +=；(2)2213x y +=． 这道高考题的背景就是蒙日圆.
普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是
定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆1:22
22=+Γb
y a x .
2222b a y x +=+定理1的结论中的圆就是蒙日圆.
先给出定理1的两种解析几何证法：
定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是，或.
),(b a ±),(b a -±当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是且，所以可设曲线的过点P 的切线方程是
,)(,(000a x y x ±≠)0b y ±≠Γ.由，得
)0)((00≠-=-k x x k y y ⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+)(10022
22x x k y y b y a x
0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a 由其判别式的值为0，得 )0(02)(220220002220≠-=++--a x b y k y x k a x 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 PB PA k k ,k 220220a x b y k k PB
PA -+=⋅ 由此，得进而可得欲证成立.
2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可。