第六章 磁介质
§1.分子电流观点 （P560习题）
3.附图所示是一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M ，求图中标出各点的B 和H 。

解：在磁棒内外,B B B '+=0,M B
H -=
μ.
无传导电流,00=B .对细长永磁棒，在两端的4、5、6、7点M B 02
1
μ≈
'，在中点1， M B 0μ≈'，在棒外的2、3点0='B ，所以
M B 01μ= 032==B B M B B B B 076542
1
μ==== 注意到在磁棒内M=常数，在磁棒外M=0，根据M B
H -=
μ立即可得：
0321===H H H M H H 2174=
= M H H 2
165-== 4.附图所示是一个带有很窄缝隙的永磁环,磁化强度为M,求图中所标各点的B 和H. 解: 由B B B '+=0, 其中00=B ,因缝隙很窄,
M i B B B 00321μμ='='='=' 故
M B B B 0321μ===
由M B
H -=
μ注意到在环内M=常数,在缝隙中M=0, 所以 M H =1,032==H H
§3.介质的磁化规律 （P605习题）
1.一环形铁芯横截面的直径为4.0毫米,环的平均半径R=15毫米,环上密绕着200匝线圈(见附图),当线圈导线通有25毫安的电流时,铁芯的(相对)磁导率300=μ求通过铁芯横截面的磁通量φ.
解: 由S nI BS 00ημφ==,其中 3
2
1012.210
5.12200⨯=⨯⨯=
-πn 米1-,所以 762337105.21044
10251012.2104300----⨯=⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=π
πφ韦伯
4.一无穷长圆柱形直导线外包一层磁导率为μ的圆筒形磁介质,导线半径为1R ,磁介质的外半径为2R (见附图),导线内有电流I 通过.(1)求介质内、外的磁场强度和磁感应强度的分布,并画r H - 、r B =曲线;(2) 介质内、外表面的束缚面电流密度i ';(3) 从磁荷观点来看,介质表面有无磁荷?
解: (1)在横截面内分别在导线内外取以导线轴线为中心的圆形回路,应用安培环路定理可得
2
7
4
212/R Ir H π=, )(1R r <, r I H π2/=, )(21R r R <<
r I H π2/= )(2R r > 再由
H B 0μμ=可得 2102/R Ir B πμ=
)(1R r < r
I
B πμμ20=
)(
21R r R << )R (r 2/20>=r I B πμ
(2) 由n M i ⨯=', 在 1R r =处,
n 指向内,
12/)1(R I H x M i m πμ-==='在2R r =处, n 指向外, 22/)1(R I H x M i m πμ-=-=-=' (3)按磁荷观点, n m n n m H x M J 00μμσ===,在介质内外表面,H 和表面相切,0=n H ,
故
0=m σ.
§3.边界条件 磁路定理 （P621习题） 11.证明两磁路并联时的磁阻服从下列公式:
2
11
11m m m R R R +
= 解:参见附图,设总磁通为0B φ,并联支路的磁通为1B φ和2B φ;并联磁路的磁阻分别为1m R 和
2m R ,总磁阻为m R .按磁路定理:
,11m B m R φε= 22m B m R φε=
,/ 1B1m m R εφ=∴ ,/ 2B2m m R εφ=
又
021B B B φφφ=+
m m B m m R R R /)/ ()/( 02m 1m εφεε==+∴
21/1/1/1m m m R R R +=
12.一电磁铁铁芯的形状如附图所示,线圈的匝为1000,空气隙长度0.2=l 毫米.磁路的、、、c b a 三段长度与截面都相等,,气隙的磁阻比它们每个大30倍,当线圈中有电流I=1.8安培时,气隙中的磁场强度为多少奥斯特?
解: 参看附图,设各支路中的磁通为Ba φ、Bb φ和Bc φ气隙中的磁场强度为H,气隙磁阻为0m R ,磁路总磁阻为m R ,按磁阻串并联的公式
12
12
2
m 1m R
)/()(00m m a m b m m a m b m c m R R R R R R R R ++++= 又 30/0m m c m b m a R R R R === 所以 960/630m m R R = 按磁路定理 m BC R NI φ= (1)
)(0m m a Ba m b Bb R R R +=φφ (2) 又
Bc Bb Ba φφφ=+ (3)
SH Ba 0μφ= (4)
联立(1)-(4)式.解得:
奥斯特
米安35330000104.5/ 103.4102638
.1103063306330⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=
==⋅++=
-l NI SR NI SR NI R R R R H m m m mb ma
mb μμ
§5.磁场的能量和能量密度 （P631习题）
2.利用高磁导率的铁磁体,在实验室产生B=5000高斯的磁场并不空难.(1) 求这磁场的能量密度m w ; (2) 要想产生能量密度等于这个值的电场,问电场强度E 的值应为多少? 这在实验上容易作到吗?
解: (1) 按 022/2/)(μB H B w m =⋅=
得: 3572/101)108/(5.0米焦耳⨯=⨯=-πm w (2) 按 3520/1012/米焦耳⨯==E w e ε
得: 8125105.11085.8/102⨯=⨯⨯=
-E 伏/米
显然这个场强在实验室中是较难实现的.
6.一根长直导线载有电流I, I 均匀分布在它的横截面上.证明:这导线内部单位长度的磁场能
量为: π
μ162
0I .
证: 因在电流密度均匀分布的长直导线内部
)R I r /(2H ),2/()(2
2
0ππμ==R Ir B 其中R 为导线的半径,所以 )8/2/)(4
2
2
20R r I H B w m πμ=⋅=, 单位长导线内的总磁能为
π
μπ1622
00
I rdr w W R
m m =⋅=⎰
.。