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例1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。
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解：以 x 为广义坐标，静平衡位置为 坐标原点。
静平衡时： mI(F)0,
(Mm)gRkst2R0
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无阻尼自由振动的特点： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；
(3)周期T 和固有频率ωn 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。 四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
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设 t = 0 时，qq0 , qq0 代入上两式得：
A q02 q02 n2 , arctqn g0q0
或：
q C 1c onts C 2sin nt
C1，C2由初始条件决定为 C 1q0 , C 2q 0/ n
qq0const q 0 nsi nnt
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A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅
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当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
如：
设 x A si n n t ()
V ma x1 2k[A (s)t2s2 t]mgA
kstmg V ma x1 2k2 A
Tma x1 2mxm 2 a x1 2m2A n2
由 T ma V xm得 ax 1 2m2A n 21 2k2A nm k
1 k2
)
并联
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k
eq
k1k 2 k1 k2
串联
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二、 求系统固有频率的方法
对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：
m gkst
st ——弹簧在全部重力作用下的静变形
于是：
n
g st
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
2k2 x2kstx(Mm)gx V2k2 x
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由 T+V= const有：
1(3Mm)x22kx2const 22
微分方程。
对于其他类型，同理可得。如
单摆：
n2 0 (n2 g/l)
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复摆：
n20 (n2 mga/J)
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平 衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式：
qn2q0
解为：
qAsi nnt()
q A n co n t s)(
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n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置
T ——周期，每振动一次所经历的时间
T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf
ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率
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stM2kmg
在任意位置x 时：
F k(s t2 x )M 2 m g 2 kx
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应用动量矩定理x：
HI
mxRMxR 1 MR2 2
x R
(3Mm)Rx 2
mI (F) (Mm)gRF2R4kxR
由 dHI
dt
mI (F)
，
有
(23Mm)Rx4kxR
振动微分方程：
x
8k 3M
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振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。
2. 振动的利弊： 利：振动给料机
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛
引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动
为人类服务。
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4. 振动的分类：
单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
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解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为 原点）
T
12Mx2
12
MR2 2
(Rx)2
12mx2
1(3Mm)x2 22
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
因平衡时
Vk2[(st2x)2s2 t](Mm)gx2ksx t (Mm )gx
下的振动称为无阻尼自由振动
一、振动的微分方程：
图示质量——弹簧系统，以平衡位置为
坐标原点，则
m gFm x
Fk(xs)t
st —振体静止平衡时弹簧的
变形：mg kst
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m x m F m g k ( x g s ) t kx
令n2
k m
则 x ： n 2x0
这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的
由Tmax=Vmax求n的方法称为能量法。
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能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。
综上所述，求系统固有频率的方法有：
1. 振动微分方程的标准形式
2. 静变形法：
qn2q0
n
g st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
3. 能量法： 由Tmax=Vmax , 求出 n
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2. 弹簧并联系
并
串
统和弹簧串联系
联
联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mgF1 F2
mg(k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k2ห้องสมุดไป่ตู้
keq k1 k2
st st 1 st 2
mg mg mg ( 1 1 )
k1 k2
k1 k2
st
mg k eq
mg
(1 k1
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实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力 学模型。
振 体
质量—弹 簧系统
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运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力
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§12-1 单自由度系统无阻尼自由振动
只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统
称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用