d

1 n

（6.7）
1 w d
（6.8）
例题P117
6.3.2 M/M/N系统
在M/M/N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通 道服务”系统。 设 为进人多通道服务系统顾客的平均到达率，排队行列从每 个服务台接受服务后的平均输出率为 ，则每个服务的平均服 ， /N 务时间为1/ 。仍记 = / 则称为M/M/N 系统的服 务强度或交通强度或利用系数，亦可称为饱和度。和M／M／ 1相仿，当 /N<1时，系统是稳定的； /N 1时，系统的任 何状态都是不稳定的，排队长度将趋向于无穷大。
6.2.3 排队系统的主要数量指标
排队系统最重要的数量指标有三个，分别为等待时间、忙 期和队长。 1．等待时间 从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。 2．忙期 服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台助工作强度。 3．队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提 供的服务水平的一种衡量。

2．排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。常见的有以下几种排队规 则： （1）损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就 自动消失，永不再来。 （2）等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排 成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务（这是最通常的情 形）和优先服务（如急救车、消防车等）等多种规则。 （3）混合制——顾客到达时，若队长小于某一定值L，就排入 队伍等候；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。
3．服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。 每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就 装载大批乘客 服务时间的分布主要有以下几种： （1）定长分布服务——每一顾客的服务时间都相等。 （2）负指数分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 负指数分布。 （3）爱尔朗分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 爱尔朗分布。 • 引入下列记号：令M代表泊松输入或负指数分布服务，D代表定长输 EK 代表爱尔朗输入或服务。G代表任意服务时间。于 入或定长服务， 是，泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系统可以定成 M/M/N。如果不附其说明，则这种记号一般都指先到先服务、独个 顾客服务的等待制系统。
M/M/N系统根据顾客排队方式的不同，又可分为： 1. 单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况，排 队中头一顾客可视哪个通道有空就到那里去接服务。 系统中没有顾客的概率为
p(0) 1
k N N!1 / N （6.9） k 0 k !
N 1
系统中有k个顾客的概率为
第六章排队理论及应用
组员 ：曹光辉 刁含楼 张磊
•6.1 概述
•6.2 排队论的基本概念 •6.3 排队过程分析 •6.4 交叉口延误模型 •6.5 道路的排队模型
6.1 概述
排队论也称随机服务系统，是研究“服务”系统因 “需求”拥挤而产生等待行列即排队现象以及合理协 调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，亦称 “随机服务系统理论”。它将交叉口看成一个服务台， 将车流看成是受服务的对象，车辆服从先到先服务原 则。
k . p (0), k N （6.10） k! P(k ) k . p (0), k N N ! N k N
系统中的平均顾客数为
平均排队长度有
N 1 P(0) n . （6.11） N! N (1 / N ) 2
q n （ 6.12）
6.3 排队过程分析
6.3.1 M/M/1系统
M/M/1系统为服从泊松输入、负指数分布服务，单个服务台的排队 系统。 由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条，也叫“单 通道服务”系统，见图6.1。
图6.1 单通道服务系统示意图
设顾客平均达到率为 ，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通道接 受服务后通过的平均服务率为 ，则平均服务时间为 1/ 。比率 叫做服务强度或交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。所 谓状态，指的是排队系统的顾客数。如果 <1，并且时间充分，每 个状态都按一定的非零概率反复出现。 1时，任何状态都是不稳 定的，而排队的长度将会变得越来越长。因此，要保持稳定状态即 确保单通道排队能够消散的条件是 <1 。 （1）在系统中没有顾客的概率 p 0 1 （6.1） （2）在系统中有M个顾客的概率 1 n） P n （6.2 = （3）系统中的平均顾客数

系统中平均消耗的时间为
d

q



1
） （6.13

n

排队中的平均等待时间为
w


q

（6.14）
2. 多路排队多通道服务
每个通道各排一个队，只为其相应的一队顾客服务，顾客不能随 意换队，这种情况相当于有N个M/M/1系统组成的系统。其计算 公式亦由M/M/1系统的计算公式确定。 由P120的例题，可以看出M/M/N系统比N个M/M/I有优越性， 因为M/M/N系统较为灵活，排在第一位的车辆可视哪个服务台 有空就到哪个服务台，避免了各服务台忙闲不均的情形，充分发 挥了他们的服务能力，因而显得优越。
n 1
（4）系统中顾客数的方差
1 2


（6.3）
（6.4）
（5）平均排队长度 （6）非零平均排队长度
2 q . n n 1 （6.5）
qw

1 1
（7）排队系统中的平均消耗时间
（8）排队中的平均等待时间
（6.6）
6.2排队理论的基本概念
• 6.2.1 “排队”与“排队系统”
“排队”单指等待服务的顾客（车辆或行人），不包括正在被服务 的顾客；而“排队系统”既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被 服务的顾客。
• 6.2.2 排队系统的组成部分
1．输入过程 就是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。常见的有如下几种服务 过程： （1）定长输入——顾客等时距到达。 （2）泊松输入——顾客到达符合泊松分布或顾客到达时距符合负指 数分布过程，这种分布最容易处理，因而应用最广泛。 （3）爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。