数与代数整理与复习整理教师：刘新民一、基础知识回顾（一）因数与倍数1. 因数和倍数。

（1）因数和倍数的意义：如果a÷b=c（a、b、c是不为0的自然数），那么b、c是a的因数，a是b、c的倍数。

因数和倍数是相互依存的，二者不能单独存在。

（2）找一个数的因数的方法：①列乘法算式来找；②列除法算式来找（3）找一个数的倍数的方法：①列乘法算式来找；②列除法算式来找2. 2，5，3的倍数的特征。

（1）2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，的数都是2的倍数，（2）奇数、偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。

（3）5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

（4）3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

3. 质数和合数。

（1）质数和合数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

1既不是质数，也不是合数。

（2）分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。

（二）分数的意义和性质1. 分数的意义。

（1）单位“1”的含义：一个物体、一个计量单位或一些物体等都可以看作一个整体，可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1” 。

（2）分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

（3）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。

被除数（4）分数与除法的关系：被除数÷除数= （除数≠0），字母关系式为÷=（≠0）除数2.真分数和假分数。

（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

真分数小于1。

（2）假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。

假分数大于1或等于1。

（3）带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数。

（4）假分数化成带分数或整数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。

3. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。

4. 约分。

（1）公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

（2）互质数的意义：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

（3）求两个数的最大公因数的方法：①列举法 ②筛选法 ③分解质因数法 ④短除法。

（4）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（5）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

（6）约分的方法：①逐步约分法 ②一次约分法5. 通分。

（1）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个人数的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

（2）求两个数的最小公倍数的方法：①列举法 ②筛选法 ③分解质因数法 ④短除法。

（3）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

6.分数和小数的互化。

（1）小数化成分数的方法：有限小数可以直接写成分母是10,100.1000，…的分数。

原来有几位小数，就在1的后面写几个0作分母，把原来的小数点去掉作分子，能约分的一般要约成最简分数。

（2）分数化成小数的方法：①分母是10,100，1000，…的分数化成小数，可以直接去掉分母，看1后面有几个0，就在分子中从最后一位向左数出几位，点上小数点。

②分母不是10,100，1000，…的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，按要求用“四舍五入”法保留近似数。

（三）分数的加法和减法1.同分母分数加、减法。

（1）分数加、减法的意义：分数加、减法的意义与整数加、减法的意义相同。

（2）同分母分数加、减法的计算法则：分母不变，分子相加、减。

（3）同分母分数连加、连减的计算方法：同分母分数连加，可以按照从左到右的顺序依次计算，也可以直接把每个加数的分子连加起来作分子，分母不变；同分母分数连减，可以按照从左到右的顺序依次计算，也可以直接用被减数的分子连续减去减数的分子作分子，分母不变。

2. 异分母加、减法的计算方法：先通分，化成同分母分数，然后按照同分母分数加、减法的计算方法计算。

3. 分数加减混合运算。

（1）分数加减混合运算的运算顺序：与整数加减混合运算的运算顺序相同。

没有括号的，只含同级运算的，按照从左到右的顺序计算，含有两级运算的，先算乘、除法（第一级运算），再算加、减法（第二级运算）；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。

（2）分数加法的简算：整数加法的运算定律在分数加法中同样适用。

加法结合律和交换律并不限制加数的个数，可以同时运用。

（四）数学广角－找次品。

找次品的最优方法：把待测物体分成3份，每份要分得尽量平均，不够平均分的，也应该使多的分数的数量与少的份数的数量只相差1。

二、考点整理例1、判断：所有合数都是偶数，所有的质数都是奇数。

分析与解答：要判断这道题的正误，首先要弄清合数、偶数、质数、奇数四个概念，它们的区分的标准不同，质数和合数是根据因数个数个多少来区分的，因数只有1和它本身数就是质数，因数除1和它本身而外还有其他因数的就是合数，1既不是质数，也不是合数；奇数和偶数是根据它能否被2整除来区分的，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数就是奇数，如3的倍数都是合数（除3以外），而它们就不是偶数，2是唯一的偶质数，它不是奇数，故此题应判断错。

例2、选择：两个质数的积一定是（ ）A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数分析与解答：这道题可以用列举法进行验证，任取两个质数，如2×3=6，6是合数，又是偶数；3×7=21,21是奇数，又是合数，所以两个质数的积有可能是奇数，也有可能是偶数，又由于两个质数的积至少有3个或4个因数，因此不可能是质数，那么一定是合数。

这道题也可以从分解质因数的概念出发，即把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，所以两个质数的积一定是合数，故正确答案是D。

例3、8 3 既有因数2，又有因数3，还是5的倍数，这个数可能是多少？分析与解答：这个数既有因数2，又有因数3，还是5的倍数，说明这个数既能被2整除，又能被3整除，还能被5整除，故这个数的末尾是0，且各位数字和是6的倍数，符合条件的3的倍数有12，15，18。

所以这个数可能是8130，8430，8730。

例4、填空。

1. 吨可以表示（ ），也可以表示（ ）。

2. 9吨煤，把它平均分成10份每份是（ ）吨，每份占这些煤的（ ）。

分析与解答：这两道道题可以从分数的意义上考虑，即吨可以表示把1吨煤平均分成10份，取其中的9份，而每份占这些煤的（ ），是把这9吨煤看作单位“1” ，是把单位“1”平均分成10份，所以每份占这些煤的；也可以从分数与除法的关系上考虑，即把9吨煤平均分成10份，取其中的1份，即每份是吨。

例5、的分子、分母同时扩大到原来的2倍，分数的大小有什么变化？如果分子扩大到原来的2倍，分母不变，分数的大小有什么变化？如果分子加上8，分母应该怎样变化，分数的大小才不变？分析与解答：分数的基本性质是分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，根据分数的基本性质，的分子、分母同时扩大到原来的2倍，分数的大小不变；再根据分数与除法的关系，如果分子扩大到原来的2倍，就相当于被除数扩大到原来的2倍，分母不变，相当于除数不变，那么这个分数的分数值也应该扩大到原来的2倍；的分子加上8，那么这个分数就是=，分数变成，分子扩大了12÷4=3倍，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，那么的分母也要扩大3倍，即==，所以分母应加上27-9=18。

例6、（为自然数），取什么值时，为真分数？取什么值时，为假分数？取什么值时，为最小带分数？分析与解答：要正确解答此题，应先弄清真分数、假分数、带分数的意义，分子比分母小的分数叫做真分数，分子比分母大或相等的分数叫做假分数，带分数是由整数部分（0除外）和真分数部分组成。

要使为真分数，那么＜28，即＜22，故取0到21这22个自然数时，为真分数；同理≥28，即≥22，故取大于或等于22的自然数时，为假分数；为最小带分数，那么分子比分母大1就可以了，即=28+1=29，即=23，故取23时，为最小带分数。

例7、按要求解题。

1. 把化成最简分数。

2. 把和通分。

分析与解答：第1题要采用约分的方法把化成最简分数，约分的方法有两种，如果不能口算出分子、分母的最大公因数就采用逐步约分的方法，即用分子、分母的公因数3连续去除，直到分子、分母是互质数为止，如（1）所示；如果能口算出分子、分母的最大公因数就采用一次约分的方法，即用分子、分母的最大公因数9去除，如（2）所示。

2（1） 2 （2）=6 5=155通分的关键就是找出两个分数的公分母，即24和36的公分母是72，再把这两个分数化成以72作分母的同分母分数，根据分数的基本性质有：==；==例8、求12和18的最大公因数和最小公倍数。

分析与解答：求最大公因数和最小公倍数的方法有很多种，有列举法、短除法法、分解质因数法、筛选法等。

一般情况下，两个数较小时，用列举法就可以很快求出最大公因数和最小公倍数；而两个数较大时，用短除法和分解质因数法比较简单。

用短除法求最大公因数时，只要把所有的除数相乘；求最小公倍数时，需要把除数和商都乘起来。

用分解质因数求最大公因数，是把两个数公有的质因数各取一个相乘；而求最小公倍数是相同的质因数各取一个，独立的质因数都取，把它们连乘起来，这就是求最大公因数和最小数的区别。

最大公因数乘最小公倍数等于这两个数的积。

当两个数只有公因数1时，直接就可以得出最大公因数和最小公倍数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。

方法一：短除法。

12 1822339612和18的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×2×3=36。

方法二：分解质因数法。

12=2×2×318=2×3×312和18的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×2×3=36。

方法三：列举法。

（1）12的因数有1，2，3，4，6，12。

18的因数有1，2，3，6，9，18。

12和1的最大公因数是6。

（2）12的倍数有12，24，36，48，……18的倍数有18，36，54，72，……12和18的最小公倍数是36。

方法四：筛选法。

（1）12的因数有1，2，3，4，6，12。

12的因数中18的因数有1，2，3，6。