集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
集合的元素的三个特性：
1.元素的确定性；
2.元素的互异性；
3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
非负整数集（即自然数集） 记作：N (natural number) 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
整数的德文为Zahlen ，19世纪德国数论很牛所以就采用Z 来表示整数了。
整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n 都是整数,且n≠0)的形式。
也就是商的形式。
而Q 是英文字母quotient （商）的首字母，所以有理数集用Q 表示。
1．函数
定义 设有x 和y 两个变量，D 是一个给定的数集，若对于D 中每一个数x ，变量y 按照一定的对应法则f 总有确定的数值与之对应，则称y 是x 的函数,记作：)(x f y =．数集
D 称为这个函数的定义域，数集}),({D x x f y y M ∈==称为函数的值域．x 称为自变量，y 称为因变量．
如果对于自变量x 的某个确定的值0x ，因变量y 能够得到一个确定的值，那么就称函数)(x f y =在0x 处有定义，其因变量的值或函数)(x f y =的函数值记为)(0x f 或0
|x x y =．
}),(),{(D x x f y y x G ∈==称为函数)(x f y =的图形．
2．函数的两个要素
由函数的定义可以知道，当函数的定义域和函数的对应关系确定以后，这个函数就完全确定了．因此，常把函数的定义域和函数的对应关系叫做确定函数的两个要素．两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时，这两个函数才认为是完全相同的． 例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1．3
)
5)(3(1+-+=x x x y
52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同
2。
111-+=
x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同
3。
x x f =)( 2
)(x x g =
解：不是同一函数，值域不同
4．
x x f =)( 33
)(x x F = 解：是同一函数
5．2
1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同
3.基本初等函数
我们学过的幂函数y x μ=(
μ为实数)；指数函数
(0,1)x y a a a =>≠；对数函数
log (0,1)a y x a a =>≠；三角函数x y sin =、x y cos =、x y
tan =、x y cot =、x y sec =、
x y csc =；反三角函数x y arcsin =、x y arccos =、x y arctan =、x arc y cot =统称为
基本初等函数．
函
数表达式定义域与值域图象特性幂
函数y xμ
=
定义域与值域随
μ的不同而不同，
但不论μ取什么
值，函数在
()
0,+∞内总有定
义
若0,
μ>xμ在[)
0,+∞单调增加，
若0,
μ<xμ在()
0,+∞内的减少．
指数函数
x
y a
=
0,1
a a
>≠
()
,
x∈-∞+∞
()
0,
y∈+∞
若1,x
a a
>单调增加，若01,x
a a
<<
单调减少．
对数函数
log
y x
a
=
0,1
a a
>≠
()
0,
x∈+∞
()
,
y∈-∞+∞
若1,log
a x
a
>单调增加，若
01,log
a x
a
<<单调减少．
正
弦函数
sin
y x
=
()
,
x∈-∞+∞
[]
1,1
y∈-+
奇函数，周期为2π，有界，在
2,2
22
k k
ππ
ππ
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
内单调增加，在
3
2,2
22
k k
ππ
ππ
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
内单调减少．
余
弦函数
cos
y x
=
()
,
x∈-∞+∞
[]
1,1
y∈-+
偶函数，周期为2π，有界，在
()
2,2
k k
πππ+内单调减少，在
()
2,22
k k
ππππ
++内单调增加．
正
切函数
tan
y x
=
()
2
x k k Z
π
π
≠+∈
()
,
y∈-∞+∞
奇函数，周期为π．在
,
22
k k
ππ
ππ
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
内单调增加．
函数的定义域是确定函数的要素之一，在研究函数时，只有在函数定义域内进行研究才是有意义的．
在实际问题中，函数的定义域是根据所研究的问题的实际意义来确定的．对于数学式子表示的函数，若不考虑问题的实际意义，则函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实
数的集合．
例５ 求下列函数的定义域：
（1）)(x f ＝24x -＋1
1
-x ； （2）)(x f ＝)1lg(x -＋2+x ．
2．复合函数
定义 设函数)(u f y =的定义域为1D ，函数u =)(x ϕ的定义域为D ，值域为M ，且M 1D ⊂．若对于D 内任意一点x ，有确定的值u =)(x ϕ与之对应，由于u =)(x ϕ1D M ⊂∈，又有确定的值y 与之对应，这样就确定了一个新函数，此函数称为)(u f y =与u =)(x ϕ构成的复合函数，记为[])(x f y ϕ=．
1. 函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,
则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨
∈⎩
已知函数(1)f x -的定义域为(1,3),求函数()f x 的定义域；或者说，已知函数(1)f x -的定义域为(3,4),则函数(21)f x -的定义域为______。