有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi
y 建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面
Z(a,b)
b ---复数平面(简称复平面)
a
o
一一对应
复数z=a+bi
x x轴---实轴 uuur
平面向量OZ
y轴------虚轴
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
OZ1 = (a,b), OZ2 = (c, d ),
y Z1
uuuuur uuur uuuur
Z2Z1 = OZ1 - OZ2
Z2
= (a - c,b- d)
O
x
∴向量 Z2Z1 就是与复数(a c) (b d)i 对应的向量.
3、复数的乘法法则：
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 =（ac - bd ) + (bc + ad )i
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m2 m 2 (m2 1)i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m 1; (2)m 1; (3)m 2.
例3. 设x，y∈R，并且 2x–1+xi=y–3i+yi，求 x，y.
问：复数的加法满足交换律，结合律吗？
设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R) z1+z2 =(a c) (b d )i z2 +z1=(c a) (d b)i
z1+z2 z2 +z1 (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
问：复数加法的几何意义吗？
Z1 (a, b)
O
x
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a
+
c) +
(b
+
d
)i
对应的向量.
问：复数是否有减法？如何理解复数的减法？ 2、复数的减法法则：
复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足 (c+di)+(x+yi)= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作 (a+bi)-(c+di).
(a bi) (c di)或 a bi . c di
(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0)
Q (c di)( x yi) cx dy (dx cy)i,
cx dy (dx cy)i a bi,
cx dy a, dx cy b,
cx dx
dy cy
例3.计算：(1 2i) (3 4i).
解： 1 2i = (1 2i)(3 4i) 3 4i (3 4i)(3 4i) = 5 10i 25 = 1 2i 55
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（
）
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚
轴
上”的（ ）
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
例题
例1计算： (1)(5- 6i) + (- 2- i)- (3+ 4i). (2)(2 + 3i)(- 2- i); (3)(1+ i)2 .
例2已知复数z满足(3+ i)z = 10，求复数z.
分析：设z x yi( x, y R),则
(3+ i)( x + yi) = 10，
即3x - y + ( x + 3 y)i = 10,
§3.1 数系的扩充和复数的概念
一、数的发展史
被“数”出来的自然 数
远古的人类，为了统计捕获的野 兽和采集的野果， 用划痕、 石子、 结绳记个数，历经漫长的岁月，创 造了自然数1、2、3、4、5、…自然 数是现实世界最基本的数量，是全 部数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0”.
被“分”出来的分 数
a, b,
x y
ac c2 bc c2
bd d2 ad d2
.
a bi c di
ac bd c2 d2
bc c2
ad d2
i
a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
(分母实数化)
ac adi bci bd
c2 d2
ac bd bc ad c2 d2 c2 d2 i
复数
a bi
0(a 0，b 0)
实数(b 0)
非0实数(a 0，b 0)
(a，b R)
纯虚数 (a 0，b 0)
虚数(b 0)
非纯虚数 (a 0，b 0)
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a, b, c, d R，那么
a bi c di a c,b d
\
ìï 3x - y=10， íïïî x + 3 y = 0,
\
ìï x=3， íïïî y = -1,
z 3-i.
探究：in ?(n N * )
i = i, i2 = - 1, i3 = - i, i4 = 1, i5 = i, i6 = 1,ggg
i 4n+1 = i, i 4n+ 2 = 1, i 4n+ = - i, i 4n = 1,
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
i 的引入:
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
i i 1 引入一个新数：
满足 2
虚数单位 i
引入一个新数 i， 叫i 做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于 -1，即 i 2 1.
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
C {a bi | a,b R}
NZ QRC
2、复数的代数形式 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位.
3、复数的分类及其关系
(a + bi)- (c + di) = (a - c) + (b- d )i 说明:
根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知 两个复数的差是唯一确定的复数.
问：复数减法的几何意义？
设
uuur OZ1
及
uuuur OZ2
分别与复数 a +
bi
及复数 c +
di对应，则
uuur
uuuur
说明:
(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算
过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并.
易证复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有 (1)z1 z2 z2 z1; (2)(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ); (3)z1 (z2 z3 ) z1 z2 z1 z3.
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
被“推”出来的无理 数
2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一 天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不 能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大 了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理， 他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。
设
uuur OZ1
及
uuuur OZ2
分别与复数 a +
bi
及复数 c +
di对应，则
uuur
uuuur
y
Z
OZ1 = (a,b), OZ2 = (c, d ),
Z2 (c, d )
uuur uuur uuuur OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c, d ) = (a + c,b + d )
练习： （1）i+i2+i3+……+i2007=_________； （2）i+i3+i5+……+i33=__________.
4、复数的除法法则：
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a, b, c,d,x,y都是实数, 记为
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数 是远远不行的.
如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？
于是分数就产生了.
分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.
被“欠”出来的负 数
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需 要，人类引进了负数． 负数概念最早产生于我国， 东汉 初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘 徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算 得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出 了正负数的加减法运算法则． 千年之后， 负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲。