专升本高数一
x0 cos x 1
x0 (1 cos 2x)ln(1 x)
(3) lim x[ln( x 2) ln x] (05 年.10 月) x
知识点: 用等价无穷小代换求极限
设 , ', , '都是无穷小, 如果 ~ ', ~ ',则lim lim ' .
n
n
1
,lim(1 t) t e
,
lim(1 1 ) x e
t0
x
x
1
u( x) 0, lim(1 u( x)) u( x) e x
适用特点1
解:(1) lim (e x x
1
x)x
lim e(1
x
x ex
)
1 x
lim e(1
x
给定函数链
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
6. 初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
例 1.下列函数中,函数的图象关于原点对称的是( )
(1) y 2x2 1;
(2) y x3 2sin x ;
(3) y x 1.
6.1 cos x ~ x2 , 导出 u( x) 0时,1 cos u( x) ~ u( x)2
2
2
例 11.
(1)
lim 1 cos 3x .(05 年 7 月)(2) x0 1 cos 4 x
ln sin x
lxim( 2x)2 .
(05 年 10 月)
2
知识点: 洛必达法则
故 y 2x2 1为偶函数.
(2) f ( x) ( x)3 2sin( x) x3 2sin x f ( x) , 故
y 3 x 2 s 为i 奇xn函数,图形关于原点对称。
(3) f ( x) x 1,它既不等于 f ( x) ,也不等于 f ( x) ,故
'
解: (1)因为 e x 1 ~ x, cos x 1 ~ 1 x2 2
所以
x(e x 1)
lim
lim
xx
2
x0 cos x 1 x0 1 x2
2
( 2 ) 因 为 ex2 1 ~ x2 ,
sin 3x
~
3x
,1
cos 2x
~
1 2
(2
x)2
2x2
ex
xx
1 ex
e )x
1
lim e (1 x
x ex ex
ex
)
x
e e0
e
1
(2)lim x 1 2x lim(1 2 x) x
1 (2)
lim(1 2 x)2x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0
x0
x0
1
1
lim[(1 2 x)2 x ](2) [lim(1 2 x)2 x ](2) e2
lim
x x0
f (x)
A.
f ( x0 ) f ( x0 )
lim
x x0
lim
x x0
f (x) f (x)
A A
3)特殊极限:无穷大和无穷小
若当lim u 0,则称变量u为无穷小量(或无穷小).
lim u , lim u , lim u ,则称变量u为无穷大量(或无穷大)
(2)要使函数有意义必须满足
x2
x
2
0 ,即
x20
x
1或 x x 2
2
,
故
D (2,1) (2,).
二、 极限 (1.概念回顾 2、极限的求法,)
1.概念回顾
1)数列极限
lim
n
an
A
, 函数极限
lim f ( x) A. x
2)函数极限与单侧极限之间的关系
lim
n
5n+1
3n2
(2)、 lim x osc x (05 年 10 月) x x sin x
解:(1)
5n 4n1
lim
n
5n+1
3n2
lim n
1 5
1 52
(
4 5
)n1
1 3( 3 )n1
5
1 5
1 52
lim( 4 )n1 n 5
2
2
2
注:使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 、 0 。 0
其它类型的未定式 ,0 ,00 , 0 , 1 可转化为分式型的未定 式,从而可以用洛必达法则。
(1) z 1 ln( x y); x
知识点:定义域
(2) f ( x) ln( x2 x 2) sin x x 2
多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似,使表达式有意
义的点的集合。
解:(1)由函数的表达式可知:
x 0 且 x y 0. 故函数的定义域为:{( x, y) | x 0 且 x y 0}
a an 0
n
解:(1) (2)
tan x
sin x 1
sin x 1
lim
lim
lim
11 1
x0 x x0 x cos x x0 x limcos x
x0
令u kx ,x 0等价于u 0,
sin kx
sin kx
sin u
lim
lim
k lim k 1 k k
4)极限与无穷小得关系定理 u A u A , 其中 是该极限过程中的无穷小
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等
例 5:
求 lim x
x5 x2 9
.
解:
15
lim
x
x5 x2 9
lim
x
x 1
x2 9
n
n
n3 n
lim n
3 n1
3 1 1
lim
n
3
n 3 n n 1 3 1 2
n
1
例 8.(1) lim (e x x) x (06 年 1 月) (2) lim x 1 2x
x
x0
知识点:重要极限
lim(1 1 ) n e
知识点: 函数的奇偶性
若对于任何 x ,恒有 f (x) f (x)成立,则称 f (x)是奇函数。若
对于任何 x ,恒有 f ( x) f (x)成立,则称 f (x)是偶函数.
奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形关于 y 轴对称.
解:(1) f ( x) 2( x)2 1 2x2 1 f ( x),
3. arcsin x ~ x, 导出 u( x) 0时,arcsin u( x) ~ u( x)
4. ex 1 ~ x,
导出 u( x) 0 时,eu( x) 1 ~ u( x)
5.ln(1 x) ~ x , 导出 u( x) 0时,ln1 u( x) ~ u( x)
,
ln(1 x) ~ x
所以
e x2 1 sin 3x
x2 (3x) 3
lim
x0
(1
cos 2x)ln(1
x)
lim x0
(2 x2 )
x
2
(3)
lim
x[ln( x
2)
ln
x]
lim
x ln(1
2 )
lim
x
2
2
x
x
x x x
一、 函数 二、极限 三、连续
一、 函数 概念回顾
1. 一元函数的概念
函数为特殊的映射:
其中
定义域
值域
2. 二元函数的概念
函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
3. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
4. 反函数 设函数
5. 复合函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
(2)
ln
lxim(
sin x 2x)2
lim
x
-
1 cos x
sin x
2 2(
2 x)
lim
x
-
1 4sin
cos
x(
x 2 x)
2
2
2
1
cos x 1 sin x 1
lim
x
-
4sin
x
lxim(
2 x)
-
4
lim
x
2
8
1 3lim( 3 )n1
1 5
n 5
cos x (2) lim x cos x lim 1 x 1
x x sin x x 1 sin x x
例 7 . (1)lim( n 3 n n n )(06 年) n (2)lim( n 3 n) n 1. (05 年) n
注:在使用等价无穷小代换时,应注意只能对乘除法代换,不能对加
减法代换,即只对极限中的各个因式进行代换.