" " " ������1 , ������2 , ������3 分别表示女性在三大产业中平均受教育程度 ′ ′ ′ ������1 , ������2 , ������3 分别表示男性在三大产业中平均实际参与劳动率 " " " ������1 , ������2 , ������3
分别表示女性在三大产业中平均实际参与劳动率
1 )(1 )]N t } E 1P1( 1 )(1 )]N t } E 2P2 ( 1 )(1 )]N t } E 3P3 (
1 2 3
其中，国际上一般取α =0.2～0.4，β =0.8～0.6。中国根据国家计委测算一般可 取α =0.2～0.3，β =0.8～0.7。α +β =1，称为不变报酬型。
us 00 (t ) , uz 00 (t ) , ux 00 (t ) : 市、镇、乡第t年的婴儿死亡率
usi (t ) , uzi (t ) , u xi (t ) : 市、镇、乡t年度 i 岁按龄死亡率
D(t ) : t年度总死亡人数
许多研究者的研究结果表明中国在过去的几年时间里经济的高速增长在很 大程度上取决于劳动力的充分供给， 由劳动年龄人口份额比重上升和人口扶养比 下降所导致的人口结构变迁对中国经济增长的贡献度处于之间随着人口老龄化 形势的日益严峻中国劳动力无限供给的状况正在不断扭转在未来数十年时间内 中国的经济增长将面临人口老龄化和劳动力不足的威胁许多研究表明人口老龄 化将会给未来中国的经济增长带来不利影响。 对于问题一，我们利用包含人力资本的柯布—道格拉斯生产函数：
������������1 ������ ′ ������ ′ ′ = −������������1 ������1 ������1 < 0 ������������1 ������������1 ������ " ������ " = −������������ ������ ������1 < 0 1 1 " ������������1
令：�����Biblioteka 1=������������������−1
1 ) 1 )(1 )]N t1 P1( [ P1(
������������
������1 为第一产业的劳动力平均资本 则：������1
=
������������ 1
������1 表示第一产业的人均 GDP 从上面的表达式可以分析出， 人口老龄化 u 一方面提高了第一产业的劳动力 平均资本， 这有助于提高人均产出；另一方面人口老龄化又减少了劳动人口在总 人口中的比重，这会减少人均产出。通过简单的求导可以算出
（二）模型二符号说明
s (t ) , z (t ) , x (t ) : 市、镇、乡t年度一年中全体育龄妇女生育婴儿总数
s (t ) , z (t ) , x (t ) : 市、镇、乡在t年度育龄妇女的总和生育率
ksi (t ) , k zi (t ) , k xi (t ) : 市、镇、乡 i 岁人口中女性所占的比例 hsi (t ) , hzi (t ) , hxi (t ) : 市、镇、乡在t年度的妇女生育模式 xsi (t ) , xzi (t ) , xxi (t ) : 市、镇、乡t年度 i 岁人口数
（二）模型一符号说明
Y������ 1 , Y������ 2 , Y������ 3 分别表示第一、第二、第三产业在 t 时间创造的总财富值 ������1 , ������2 , ������3 分别表示国家对三大产业的投入比例 α , β分别表示物质资源产出和人力资源产出的弹性系数。 ′ ′ ′ ������1 , ������2 , ������3 分别表示男性在三大产业中平均受教育程度
二．问题分析
问题通过一些社会上存在的现象，暴露了我国经济发展过程中的制约因素，尤其 对我国的现有人口结构表示担忧。 问题一和问题四要定量分析影响经济的主要因 素， 并建立数学模型阐明人口结构对经济发展的影响，特别的要通过研究推迟退 休年龄对中国经济发展的影响； 问题二和问题三是要建立不同政策下的人口模型， 对人口结构进行预测；问题五要综合考虑各方面影响因素，对经济的发展提出建 设性意见。
其中，红点表示 2000 到 2004 年的 GDP 总量，曲线为拟合结果。 从结果可以看出， 拟合结果较好但有一定误差，这是由于在求解过程中我们 用 GDP 来代替三大产业创造的总财富值，也没有考虑各个行业的技术水平不一 样。 然后，我们讨论问题四： 我们可以根据题目的信息将男性退休年龄延长至 65 岁，将女性的退休年龄延长 至 60 岁。这就会使 U 值减小，从而使Yt 增大。显然，这也符合实际情况。我们 在原有基础上将男女退休年龄后退 5 年。 （万人） 第一产业 第二产业 第三产业 男性适龄实际参与劳动人口数 1621.2407 1105.4541 1077.7835 女性适龄实际参与劳动人口数 1508.6191 608.9161 868.9979
三．模型的建立求解 （一）模型一的假设
1. 不考虑人力资源溢出效应，则人力资源和物质资源的规模报酬不变，且 α+β=1 2. 第一产业由农村人口从事，第二、三产业由城镇与城市人口从事。 3. 每个行业的受教育程度不随时间而变化。 4. 三大产业的就业人员的人口结构相同。 5. 各行业的适龄劳动力参与率不变。 6. 总收益为三大产业之和。 7. 男女性别比例不会发生较大变动。
人口预测与经济
石鑫刚朱云鹏朱畅然
摘要
经济实力是一个国家综合国力的重要标志， 我国以雄厚的经济实力和丰富的 劳动力资源为基础， 中国的文化传播和武器出口，无论从质量和数量上都稳步提 高——中国声音在国际舞台上越来越强有力。 我们已经在“民族复兴”之路上迈出 了坚实的一步。 为了更好的实现经济的可持续发展，就应清晰的了解经济发展的 影响因素。 问题一和问题四要求影响经济发展因素的模型，我们建立了优化的柯 布—道格拉斯生产函数；问题二和问题三要预测未来 30 年我国的人口结构，我 们采用人口预测离散模型； 问题五要对经济可持续发展提出建议，我们综合考虑 各方面影响因素，对经济的发展提出三点建设性意见。 对于问题一，为了研究人口结构对经济发展的影响，在包含人力资本的柯布 —道格拉斯生产函数的基础上， 将总收益分为三大产业并考虑到男女在生产过程 中的差别，得到优化的函数，然后对函数参数进行求解并与实际 2000-2004 年 GDP 总量进行 matlab 拟合，用模型对不同影响因素进行定量分析，得出结论。 接着对问题四做出解释， 我们调整人口老龄化的比例得到延迟退休年龄策略对中 国经济发展的影响。对于问题二，我们采用人口预测离散模型，选用总和生育率 方法进行人口预测, 以 2010 年作为基础数据, 2039 年为预测末年. 用 Matlab 求解 模型可得到预测结果，结果分为预计总人口，预计劳动人口，预计老年人口及预 计城、镇、乡各自人口，结果形式有图表形式体现出来。接着我们通过调整城镇 乡的综合生育率达到放宽一胎生育政策的目的， 并采用相同的方法对人口进行预 测，预测结果也用图表形式表现出来。对于问题五，我们通过对上述两模型中了 解的影响经济发展的因素， 针对这些因素对中国人口结构和经济可持续发展提出 相应的建议。
上面两个式子分别表示男性和女性人口老龄化对于第一产业人均 GDP 的影 响是负面的,所以可以得出人口老龄化对第一产业人均 GDP 的影响是负面的。 同理，第二、第三产业人均 GDP 的影响也是负面的。 通过查阅资料可以得出以下数据: 产业对 GDP 的贡献率 0.118 0.467 0.415 男性平均受教育年限 8.633 10.671 11.816 女性平均受教育年限 7.994 9.616 11.844
关键字：柯布—道格拉斯生产函数人口预测离散模型总和生育率
一、 问题重述
当今有一些现象和消息值得我们深思： 1. 北京征兵体检标准放宽文身直径超 3 厘米将被拒。 2. 人社部专家建议退休年龄延至 65 岁。 3. 15 名学者联名上书全国人大要求松绑二胎 4. 报告称到 2013 年中国养老金缺口将达 18.3 万亿。 不可否认的是，现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领 域，它们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧。 针对上述思考和担忧，请您解决和回答以下问题： (1) 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。 (2) 就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来 30 年内中国人口结构。 (3) 如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来 30 年内中国人 口结构。 (4) 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。 (5) 基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可 持续发展提出建议。
Y = A������ ������ (������������ 1 − ������ − ℎ ������)������
其中，Y 表示总产出；A 代表技术水平；K 代表总物质资本；E 表示人均受 教育年限，用来人力资本存量； （1-u-h）*N 代表适龄劳动人口；E*（1-u-h）*N 代表劳动年龄人口形成的人力资本存量；P 代表总劳动力存量中真正投入到经济 生产中的比例，也就是就业人口数量和劳动年龄人口的比值，即劳动参与率。因 为有失业等问题，所以 P 是介于 0 到 1 的数。 而三大产业中各个产业之间的差别较大， 所以我们将总收益分为三大产业的 收益总和， 又考虑到在中国由于受传统思想影响，男女受教育程度和就业机会有 一定差距，我们又引入男女性别比将男女分开讨论，同时将总人口换成 16 岁以 上的各个行业的三类总人口从而得出以下优化的模型：
调整 u 值以后用 MATLAB 求解模型可得
从结果看出，延迟退休年龄可以使经济增长
（一）模型二的假设
1、农村人口一旦迁入城镇或城镇化, 其人口行为和特征即与城镇人口相同, 即忽略城镇人口与迁入城镇人口或城镇化的差别 2、假定预测期内我国的计划生育政策不会有太大变动 3、未来人口的死亡模式和生育模式保持不变 4、妇女总和生育率和妇女生育模式不变 5、迁出和迁入的人口数量一样, 即模型可以不考虑迁入迁出人口