高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。

三、知识点解析1、函数：（1）定义：1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量,x y ，并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有惟一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，记为()y f x ；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。

；上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合A 到集合B 的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A 、B 都是非空数集。

自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C 叫做函数的值域。

这里应该注意的是，值域C 并不一定等于集合B ，而只能说C 是B 的一个子集；（2）三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。

2、函数的单调性：（1）定义：对于给定区间上的函数()f x ，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数；（2）证明函数单调性的方法：1）用定义；2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像；4）依据符合函数单调性有关结论；5）1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-为增函数，1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-为减函数；（3）函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()y f x =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子()()f x T f x +=对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何x ，式子都成立，而不能是“一个x ”或“某些x ”；2）一个函数是周期函数，它并不一定就有最小正周期，如：()f x a =（a 是常数)，显然，对任何一个正数T ，都有()()()f x T f x x R +=∈；这就是说，任何一个正数都是()f x 的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数()f x a =不存在最小正周期。

③设T 是()()f x x R ∈的周期，那么(kT k N ∈且0k ≠)也一定是()f x 的周期。

3、反函数（1）反函数的意义：一般地，式子()y f x =表示y 是自变量x 的函数，设它的定义域为A ，值域为B 、我们从式子()y f x =中解出x ，得到式子()x y ϕ=。

如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=就表示x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ϕ=，叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，即1()()x y f y ϕ-==，在函数式1()x f y -=中，y 表示自变量，x 表示函数。

习惯上，一般用x表示自变量，用y 表示函数.为此对调函数式1()x fy -=中的字母,x y ，把它改写成1()y f x -=。

1）()y f x =与1()y f x -=具有四性：A 、互换性；B 、对称性；C 、奇偶性；D 、单调性；2）()y f x =和1()y fx -=互为反函数，即1[()]()f f x x x B -=∈或1[()]()f f x x x A -=∈；3）求反函数的步骤：A 、解出 1()x f y -=；B 、交换,x y ，得1()y f x -=；C 、解出反函数的定义域(即原函数值域)；4）互为反函数的两个函数图像关于直线y x =对称；（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的12x x ≠，能推断出12()()f x f x ≠成立的函数才具有反函数；（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；2）()y f x =与1()y fx -=互为反函数，设()f x 的定义域为A ，值域为C ，则有1[()]()f f x x x C -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由()y f x =解出()x y ϕ=；2）交换,x y ，得1()()x f x ϕ-=；3）根据()y f x =的值域，写出1()y f x -=的定义域。

4、幂函数、指数函数、对数函数 （1）幂、指数、对数式 1）同底数幂的运算性质： ①(,)mn m n aa a m n Q +=∈，②()(,)m n mn a a m n Q =∈，③()()n n n ab a b n Q =∈；2）根式的运算性质：①nn a a =，②当n 是偶数时(0)(||)||(0)n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，当n 是奇数时)nn a a =；3)分数指数幂与根式的关系规定： ①正分数指数幂0,.,1)n m n ma a a m n N m =>∈>且，②正分数指数幂1(0,.,1)n mn maa m n N m a-=>∈>且；4)对数及对数的运算性质：①定义：如果(0ba N a =>且1a ≠)，则数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =， ②对数恒等式：log Na a N =(a ＞0且a ≠1，N ＞0)，③对数的性质：（ⅰ）负数和零没有对数，（ⅱ）log 10(0,1)a a a =>≠，（ⅲ）log 1(0,1)a a a a =>≠；④对数的运算法则：（ⅰ）()(0,0)MN M N M N =+>>a a a log log log ，（ⅱ）M log N aM N =-a a log log ，（ⅲ）log ()n a N n N =a log ，（ⅳ）1log n a N N n=a log ； ⑤换底公式：log log log a b a N N b =（ⅰ）1log log a b b a=，（ⅱ）12231log log log 1(,2)n a a a a a a n N n =∈≥，（ⅲ）log log m n a a nb b m=； （2）幂函数1）定义：形如ay x =(a 是常数)的函数叫幂函数； 2)幂函数的图像见图：3）幂函数的性质： ①都过点(1，1)；②除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数都不过第四象限；③0a >时，幂函数图像过(0，0)且在(0，+∞)上是增函数；0a <时，幂函数图像不过(0，0)且在(0，+∞)上是减函数；④任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；（3）指数函数1）定义：形如xy a =(0a >且1a ≠)的函数叫指数函数； 2）指数函数的图像见图：3）指数函数的性质①都过(0，1)点；②定义域为R ，值域为R +；③1a >时，在(-∞，+∞)上是增函数；01a <<时，在(-∞，+∞)上是减函数；④1a >时，01001x x x a x a ⎧>⇒>⎪⎨<⇒<<⎪⎩；01a <<时，00101xxx a x a ⎧>⇒<<⎪⎨<⇒>⎪⎩。

（4）对数函数1）定义：形如log a y x =(0a >且1a ≠)的函数叫对数函数；2）对数函数图像见图。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y x =对称(互为反函数)；3）对数函数的性质： ①都过(1，0)点；②定义域为R +，值域为R ；③1a >时，在(0，+∞)上是增函数；01a <<时，在(0，+∞)上是减函数； ④1a >时，10010x y x y >⇒>⎧⎨<<⇒<⎩；01a <<时，10010x y x y >⇒<⎧⎨<<⇒>⎩。

四、例题1、函数例1 审查下面四个命题：（ⅰ）()21f x x x =--是函数；（ⅱ）函数是其定义域到值域的映射；（ⅲ）y x =和2y x =表示同一函数；（ⅳ）x y x=和0y x =表示同一函数；其中正确的有 [ ]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个解 B注 高中数学中的函数是通过映射来定义的。

例2 函数||||x y x x=+的图像是[ ]解 D 函数||||x y x x =+可化为1,01,0x x y x x +>⎧=⎨--<⎩。

例3 设ak ＞0，bc ＜0，在同一坐标系中y=ax 2+c 与y=kx+b 的图象应是 [ ]解 B 由,a k 同号排除D ；由b ，c 异号排除A ，C 。

例4 已知函数3()()232cx f x x x =≠-+满足(())f f x x =，则c 的 [ ]A 、3B 、-3C 、3或-3D 、不存在解 B 223(())(26)92323cxcx f f x x x c c cx x +==⇒+=-++。

对任何3()2x x ≠-成立，所以22690c c +=-=，即3c =-。

而33232x x -≠-+，故所求3c =-。

例5 函数11y x=-- [ ]A 、(,0]-∞B 、(,0)(0,1]-∞⋃C 、(,1]-∞D 、无法确定解 B 解不等式组10110x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩得(,0)(0,1]-∞⋃，此即所求定义域。