二 次 函 数一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 例：已知关于x 的函数是常数c b a c bx ax y ,,(2++=）当a,b,c 满足什么条件时 （1）是一次函数 （2）是正比例函数 （3）是二次函数 二、二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的性质 （1）①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. ③｜a ｜越大，开口越小。

（2）顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=（3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；②当0<a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随x 的增大而减小。

（4） y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c )例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )A ． a >0B ． b ＜0C ． c ＜0D ． a ＋b ＋c >0练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ A ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x＞32、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4yxO山东威海题图轴下方轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<>三、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：c bx ax y ++=2，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.（2）配方法：()k h x a y +-=2的顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.(3)利用交点式求对称轴及顶点：()()21x x x x a y --=，对称轴为221xx x +=例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴： （1）532+-=x y x（2）72)1(2-=-x y （3）)9)(7(3+--=x x y例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .（1，－4） 四、抛物线的平移方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况 方法2：将函数换成顶点式．．．，用口决“（x ）左加右减，上加下减” 例1、抛物线322++=x x y 经过怎样平移得到142+-=x x y 答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线2y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A ）A ．2(2)y x =-+B ．22y x =-+C ．2(2)y x =--D ．22y x =--例3、（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.（y=(x-5)2+2 或 y=x 2-10x+27） 练习：1、抛物线3222++=x x y 经过怎样平移得到1422+-=x x y2、抛物线322++=x x y 向左平移2个单位，再向上移3个单位得到c bx x y ++=2，求b 和c 。

3、（2011山东滨州，7，3分）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( B )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 五、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. (4)一般式与顶点式的变换例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式： （1）已知抛物线过)05(,3003，），－），（，（－（2）已知抛物线的顶点在x 轴上，且过点（1，0）、（－2，4）； （3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4） 例2、将换成顶点式和4222622-+=+-=x y x y x x（292,7)21(322-=-=+-x x y y ）（） 练习：1、将换成顶点式和－4735422++=-=x y x y x x2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y =（2(2)1y x =-+） 七、(2c bx ax y ++=)0≠a 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的关系例1、（2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数8999931＋－＝x x y 的图形画在坐标平面上，判断方程式0899993122＝＋－x x 的两根，下列叙述何者正确？（ A ）A ．两根相异，且均为正根B ．两根相异，且只有一个正根C ．两根相同，且为正根D ．两根相同，且为负根例2、.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则AB 的长为 4 ，三角形ABC 的面积是 6 。

练习：1.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．（22-x y ＝，两个交点）2.（2011湖北襄阳，12，3分）已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ B ） A.4<kB.4≤kC.4<k 且3≠kD.4≤k 且3≠k3、（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由．八、二次函数的应用1、求c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 最大值或最小值①0>a ，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x 等于顶点的横坐标； ②0<a ，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x 等于顶点的横坐标。

2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底21⨯⨯高 3、利润问题：利润＝销量⨯（售价－进价）－其他 4、拱桥问题例1、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数522-+=x x y 有（ D ）A ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6-例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m ），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x （m ），余下的可耕地面积为y （m 2）。

（1） 请你写出y 与x 之间的解析式；（2） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m 时，余下的可耕地面积为多少？ （3） 若余下的耕地面积为4408m 2，求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的销售价x(元)满足一次函数：m=162-3x.（1） 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；（2） 如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。

据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:（1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2） 设销售单价为每千克X 元，月销售利润为Y 元，求Y 与X 的函数关系式(不必写出X 的取值范围）；（3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．385227501.011000225≈⨯⨯＝3、. 如图6，一单杠高2.2m ，两立柱之间的距离为1.6m ，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m 的小孩站在离左边立柱0.4m 处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。

（答案：0.2m ）图6附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=2 0=x （y 轴）(0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)。