1工程车辆扭转振动动力学模型的建立工程车辆传动系统一端通过离合器与发动机相连，输出端通过轮胎与工程车辆平动质量相连，组成了一个多质量的弹性扭转振动系统。

在计算整个系统的固有频率和振型时，通常可忽略系统的阻尼，将整个传动系统看成是由多个刚性圆盘通过弹性轴连接的无阻尼振动系统。

现在某型装备四缸柴油机的中型装载机传动系统为例，其扭转振动力学模型如图1-1所示。

1.1 当量转动惯量的计算当量转动惯量J 是指将传动系统中与发动机曲轴不同转速旋转的零部件的转动惯量换算成与曲轴同转速旋转下的转动惯量，这种换算方法的原理是能量守恒。

设传动轴的转动惯量为J,实际转速为ω曲轴转速为0ω，则将传动轴换算成曲轴转速0ω的当量转动惯量为2220212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==g d d i J J J J J ωωωω式中，g i 为变速器的传动比。

1.2当量扭转刚度的计算设两圆盘之间弹性轴的当量扭转刚度为d K ，则可以根据弹性变形量守恒的原理将系统中的时间扭转刚度K 换算过来。

现以后桥半轴为例，相应的当量扭转刚度为201⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i K K g d式中，0i 为主减速器的传动比。

2传动系统扭转动力学方程根据图1-1所示的简化的传动系统模型，可建立系统动力学方程组为-0-)-)()(-----111010111111101010991010343332233232221122121111=+=+-=-+-=+=+）（）（（）（）（）（。

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθK J K K J T K K J T K K J T K J(1)方程组（1）中，111-θθ分别为对应质量的扭转角位移；41-T T 分别为发动机1-4缸的有效输出转矩。

为了简单起见，可以将（1）改为矩阵形式的动力学方程一般式，即T K C J =++θθθ。

式中，当量转动惯量矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11102100J J JJ J阻尼矩阵C=[0]；刚度矩阵； 圆盘的角位移矩阵[]T 1143210θθθθθθ =。

一般以发动机振动激励为系统输入矩阵，则[]T T T T T T 004321 =2.1扭转系统固有特性的分析这里的固有特性是指固有频率和主振型，多自由度系统的固有频率和主振型可以根据系统的无阻尼自由振动方程得到，即0=+θθK J 。

（2）假设方程的解为t ni eωθA = （3）式中，A 为系统自由振动时的振幅列向量，[]Tm m m m A A A A A 11321=。

将式（3）及其二阶导数代入方程式（2），并消去t ni eωθA =，得到主振型方程为()02=-A J K nω令J K H n 2ω-=，则有HA=0式中，H 为系统的特征矩阵。

根据线性代数知识可知，主振型方程存在非零解的条件是系统的特征矩阵的行列式必须等于0，即02=-=J K H n ω (4)式（4）称为系统的特征方程。

当系统微分方程组较多时，解上述方程的工作量是相当大的，调用MA TLAB 中的eig （）函数来求解系统特征方程，可以非常方便地计算出系统的固有频率，其对应的特征矢量就是该固有频率所对应的振型。

此外，还可以根据计算出的振型画出振型图。

下面直接给出该型装载机传动系统各部分的转动惯量和各轴段的扭转刚度参数值，如表1-1和表1-2所示。

阶主振型A i。

它们总是成对出现，并描述系统的一个独立特性。

需要注意的是，将特征值代回至系统微分方程组只能得到n个未知量A i之间的比值。

如果A i是方程的解，则A i乘以任何非零的常数都是方程的解。

因此，可以说，主振型的形态是确定的，但是振幅是不确定的；换句话说，主振型只是确定系统按照某一阶固有频率自由振动时的各个坐位移的比值，而振幅的数量则可以是任意的。

因此，在计算机主振型时，无需求出具体初始条件下系统某阶主振动时各个坐标幅值得具体绝对数值，而只是一般性地描述系统某阶主振型的形式，任意规定其中某一坐标的幅值。

2.2 仿真计算经过以上的理论分析，下面进行程序的编制，可自行编写函数eigfre-niuzheng（）来求解系统特征方程，以得到特征值和特征向量。

该函数为求解各种振动系统特征方程的通用函数，本书还将利用本函数进行悬架双质量系统的固有特性分析。

具体程序如下：function[w,A]=eigfre_niuzheng(J,K)w=[ ];H=inv(J)*K;[A,d]=eig(H);n=size(H);for i =1:nw(i)=d(i,i);A(:,i)=A(:,i)/A(1,i);endfor j =1:n-1;for i=j+1:n;if w(j)>w(i);t=w(i);w(j)=w(i);w(j)=t;q=A(:,i);A(:,i)=A(:,j);A(:,j)=q;endendendm=5;for i=1:msubplot(m,1,i)plot(A(:,i))end对于当量转动惯量和当量扭转刚度的计算，特别要注意的是：在离合器完全结合的情况下，；而变速器第二轴、通常可以认为离合器、机械变速器第一轴转速等于发动机曲轴的转速传动轴以及主减速器主动锥齿轮为同一转速gi 0ω；主减速器从动锥齿轮、差速器总成、两根驱动半轴以及两个驱动车轮为同一转速)/(00i i g ω。

为了分段进行当量转动惯量和当量扭转刚度的计算，现自行编制MATLAB 函数文件niuzheng_para 。

本函数输入参数为变速器的档位gi ，输出参数为传动系统的当量转动惯量矩阵j 和当量扭转刚度矩阵k 。

具体程序如下：function[j,k]=niuzheng_para(gi) ig=[5.78 4.57 2.91 1.72]; i0=7.28;jj=[0.001964 0.00191 0.00191 0.0019241 0.1055 0.0030074 0.031771 0.006066 0.13724 6.2947 159.47];kk=[8.113e 5 8.113e 5 8.113e 5 8.2443e 5 1.19962e 6 1.8904e 5 1.7945e 5 1.056e 7 1.1529e 6 2.0735e 5] for i =1:11; if i>4&i<9j(i)=jj(i)./(ig(gi))^2; elseif i>8j(i)=jj(i)./(ig(gi)*i0)^2; elsej(i)=jj(i); end endfor i=1:10; if i>3&i<8k(i)=kk(i)./(ig(gi))^2; elseif i>7k(i)=kk(i)./(ig(gi)*i0)^2; elsek(i)=kk(i); end end以某中型装载车辆为例，该工程车辆所用发动机是四缸四冲程柴油机，根据四缸柴油机的特定分析，其扭转激励主谐次为k=1,2,3…该发动机正常怠速约为700r/min ，根据工况特性考虑发动机常用工作转速n e =1200-2500r/min 。

工作转速范围会有相对应的基本频率范围，即2,)599.523327.251(301,)799.261664.125(30=-===-==k Hz k n f k Hz kn f e e e e ππ工程上通常认为低频振动对动力传动系统部件影响最大，因此在这里只考虑低频特性。

综合这些因素可以得出，要想避开共振区域，动力传动系统的固有频率就不能落在这些频率范围内或其附近。

下面分析的主要目的就是校验动力传动系统的固有频率是否落在这些频率范围内或其附近。

下面分析的主要目的就是校验动力传动系统的固有频率是否落在这些范围内。

最后，根据本例前面有关动力传动系统的固有频率的计算方法，进行扭转振动分析主程序niuzheng_main.M文件的编写。

具体程序如下：Clear allgi=1;[j,k]=niuzheng_para(gi);J=[j(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 j(2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0;O 0 j(3) 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 j(4) 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 j(5) 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 j(6) 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 j(7) 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 j(8) 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 j(9) 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 j(10) 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j(11);];K=[k(1) –k(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0;-k(1) k(1)+k(2) –k(2) 0 0 0 0 0 0 0 0;0 –k(2) k(2)+k(3) –k(3) 0 0 0 0 0 0 0;0 0 –k(3) k(3)+k(4) –k(4) 0 0 0 0 0 0;0 0 0 –k(4) k(4)+k(5) –k(5) 0 0 0 0 0;0 0 0 0 -k(5) k(5)+k(6) –k(6) 0 0 0 0;0 0 0 0 0 –k(6) k(6)+k(7) –k(7) 0 0 0;0 0 0 0 0 0 –k(7) k(7)+k(8) –k(8) 0 0;0 0 0 0 0 0 0 –k(8) k(8)+k(9) –k(9) 0;0 0 0 0 0 0 0 0 –k(9) k(9)+k(10) -k(10);0 0 0 0 0 0 0 0 0 –k(10) k(10)];[w,A]=eigfre_niuzheng(J,K);f=sqrt(w)./2/pi;iw=length(w);n=f*30/pi/2;fprintf(‘—工程车辆传动系统固有频率共% 3.0 f阶— \n’,iw)disp ‘—本文只显示与计算前5阶固有特性—‘fprintf(‘工程车辆传动系统第1阶固有频率f1=% 3.4f Hz \n’,f(1))fprintf(‘工程车辆传动系统第2阶固有频率f2=% 3.4 f Hz \n’,f(2))fprintf(‘工程车辆传动系统第3阶固有频率f3=% 3.4 f Hz \n’,f(3))fprintf(‘工程车辆传动系统第4阶固有频率f4=% 3.4 f Hz \n’,f(4))fprintf(‘工程车辆传动系统第5阶固有频率f5=% 3.4 f Hz \n’,f(5))disp ‘—工程车辆发动机第1阶与第2阶谐振频率范围—’ne0=700；fprintf(‘工程车辆发动机怠速ne0=% 3.3 f r/min \n’,ne0)ne=1200:2500;for kk=1:2;if kk = =1fe=pi.*kk.*ne./30;fprintf(‘工程车辆发动机第1阶谐振最高频率fe1max=% 3.3 f Hz \n’,m ax(fe))fprintf(‘工程车辆发动机第1阶谐振最低频率fe1min=% 3.3 f Hz \n’,min(fe))fe0=pi.*kk.*ne0./30;fprintf(‘工程车辆发动机怠速第1阶对应频率fe0=% 3.3 f Hz \n’, fe0)else if kk= =2fe=pi.*kk.*ne./30 ;fprintf(‘工程车辆发动机第2阶谐振最高频率fe2max=% 3.3 f Hz \n’,max(fe))fprintf(‘工程车辆发动机第2阶谐振最低频率fe2min=% 3.3 f Hz \n’,min(fe))fe0=pi.*kk.*ne0./30;fprintf(‘工程车辆发动机怠速第2阶对应频率fe0=% 3.3 f Hz \n’, fe0)endendif kk= =1；for iw =1:5 ;fe=pi.*kk.*ne0./30 ;if f(iw)<max(fe)&f(iw)>min(fe)nw=f(iw)*30/pi/2;disp ‘!!!! 注意！工程车辆传动系统固有频率在发动机常用1阶谐振频率范围，易引起扭振!!!!’fprintf(‘工程车辆传动系统可发生共振的固有频率为f(iw)=% 3.3 f Hz \n’,f(iw))fprintf(‘工程车辆发动机可发生共振的临界转速为nw=% 3.1 f r/min \n’,nw)endendelse if kk= =2;for iw =1:5;fe=pi.*kk.*ne./30;if f(iw)<max(fe)&f(iw)>min(fe)nw=f(iw)*30/pi/2;disp ‘!!!! 注意！工程车辆传动系统固有频率在发动机常用2阶谐振频率范围，易引起扭振!!!!’fprintf(‘工程车辆传动系统可发生共振的固有频率为f(iw)=% 3.3 f Hz \n’,f(iw))fprintf(‘工程车辆发动机可发生共振的临界转速为nw=% 3.1 f r/min \n’,nw)endendenddisp ‘—工程车辆发动机临界转速—‘fprintf(‘工程车辆发动机第1阶临界转速n1=% 3.1 f r/min \n’,n(1))fprintf(‘工程车辆发动机第2阶临界转速n2=% 3.1 f r/min \n’,n(2))fprintf(‘工程车辆发动机第3阶临界转速n3=% 3.1 f r/min \n’,n(3))fprintf(‘工程车辆发动机第4阶临界转速n4=% 3.1 f r/min \n’,n(4))fprintf(‘工程车辆发动机第5阶临界转速n5=% 3.1 f r/min \n’,n(5))运行程序可以得到以下结果：有仿真结果可知，工程车以1档行驶时，传动系统第3阶固有频率473.5876Hz落在发动机2次谐振频率范围，此时发动机可发生共振临界转速为2261r/min，在先前考虑的发动机的常用转速范围n e=1200-2500r/min内，来自发动机的2次谐振可能会使动力传动系统前端产生较大的扭振振幅。