二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的X，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点•因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.【知识要点&例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：Case l、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内(i )当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.例1、二次函数y=x2-2x + 3在闭区间［-1,2 ］上的最大值是_______ .例2、函数f(x)=-x2+4x-2在区间【0,3】上的最大值是____________ 最小值是例3、已知2x2兰3x，则函数f(x)=x2+x + 1的最大值是__________ ，最小值是Case H、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求 二次函数y =ax 2・bx ( a = 0)在给定区间I p,q 1上的最值，需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论•这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若- —:::p ，即对称轴在给定区间lp,q 1的左侧，贝U 函数f(x)在给定区间 2a［p,q ］上单调递增，此时［f (X )］max 二 f (q)，［ f (X )］min 二 f (P)； (ii) 若 <q ，即对称轴在给定区间lp,q 啲内部，贝U 函数f(x)在［p,-勺］2a2a上单调递减，在^-,q ］上单调递增，此时［f(X )］min = f(-M )，［f(X )］max 二f ( P ) 2a2a或f(q)，至于最大值究竟是f(p)还是f(q)，还需通过考察对称轴与给定区间 的中点的位置关系作进一步讨论：若p —存号，则［f (叽…q)；若(iii)若- — q ，即对称轴在给定区间lp,q 1的右侧，则函数f(x)在给定区间 2a〔P ，q 1 上单调递减，此时［f (X )］max = f(P )，［f (X )］min = f (q). 综上可知，当a 0时,f(q),若[f (x)]max —_i_ f(p)，若[f(x)]min = HH~)，若-吕兰q.2a 2af(q),若-2a通过同样的分析可得到：当a 0时,—牛q ，则[f(x)]maxf (p)；b P q 2a 2b _ p q 2a 一 2f(p),若b2af(p),若-知 p说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数 •解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分 对称轴在给定区间的左侧、 内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值• 解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求 二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行 分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其 对称轴的横坐标•解决方法与知［f(X )］max 二 f(b 2a ),若 w b2af(q)，若一2^q［f(X )］min若 b f (q),右- '2 * 4： bf(p),右-〒 ♦ 2ap q2p q2例4、已知x 2 <1且a _ 2，求函数f (x) = X 2 • ax • 3的最值• 例5、求函数f (X )=-x(x_a)在区间［-仁们上的最大值• 例6求函数f (x) =x 2 -2ax-〔在区间b,2】上的最大值和最小值•2例7、设函数f(x^x 2 ax b ( a,b ・R )，当b 一邑.〔时，求函数f(x)在区4间1^,1上的最小值g(a)的解析式.2［解析］函数f (x) =x 2亠ax 亠b =x 2亠ax 亠旦1=(x 、a )2 V 的图像是开口向上，对称轴为直线4 2 X = _a 的抛物线2(i )若—寸",即a 2 此时函数f (x)在［7,1上单调递增a 2a 2于是 g (a) = f (-1) =1 -a1 a2 4 4(ii )若-a 1,即a ：：:—22 此时函数f (x)在［-1,1上单调递减2 2于是 g(a)二 f(1)二 1 - a - -1 =- a 24 4(iii )若<1,即 _2 兰—兰2 2此时函数f (x)在［T —a ］上单调递减，在［―a ,1］上单调递增2 2 于是 g(a) =f(=1识点2类似，这里不再赘述.例9、已知函数f(xH(x-1)2 1定义在区间lt,t ■ 1( r R )上，求f(x)的最小值. 例10、已知函数f(x)=x2 -2x，当lt,t 11( L R )时，求f (x)的最大值.CaselV、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：(1)求函数的最值或最值的取值范围；(2)求函数的解析式；(3)证明不等式；(4)求参数的取值范围；(5)探究参数是否存在；例11、设函数 f x = x2 2ax - a -1，x ：= 10,2 1，a 为常数.(I)求f x的最小值g(a)的解析式；(II )在(I )中，是否存在最小的整数m,使得g(a)-m^0对于任意a・R均成立•若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【解析】(I )函数f x]=£2ax-a -1 =(x • a)2 - a2 - a -1的图像是开口向上，对称轴为直线x=「a的抛物线(i )若-a < 0，即 a 0此时函数f(x)的对称轴x=-a不在区间1.0,2 1上, f(x)在区间1.0,2〕上单调递增于是g(a)珂f(x)]min = f(0) =-a-1(ii )若—a 2，即 a ：：：-2此时函数f(x)的对称轴x=-a不在区间02 1上, f(x)在区间〔0,2 1上单调递减于是g (a) = ［ f (x)］min = f (2) = 4 4a _ a _ 1 = 3a 3(iii ) 若0辽一a乞2，即一2乞a冬0此时函数f (x)的对称轴x - _a在区间［0,2］上，f (x)在区间［0,_a］上单调递减，在区间〔-a,2 1上单调递增于是g(a) =［f (x)］min n f (-a) - -a2 - a -1I -a-1,a>0综上可知，g(a) = -a2-a-1,-2 _ a _ 0I3a 3,a ：： -2(II )要使g(a)-m乞0对于任意的a R均成立，只需m_［g(a)］max，-a，R 下求［g(a)］max一 1 1 一由函数g(a)的图像可见，g(a)在(-二，-丄］上单调递增，在［-丄，匸：)上单调递减2 2111 3［g(a)］ma^g^-^4--)^^-^^42 2 2 4于是m _ _ 34又m Z故m的最小值为0例12、已知函数f(x) =x^2ax b( a,b・R )，记M是| f (x) |在区间［0,1］上的最大值.(I)当b =0且M =2时，求a的值；1(U)若M "，证明0 _ a _ 1.2【解析】(I )函数f (x) = x2-2ax • b = (x -a)2-a2• b的图像是开口向上，对称轴为直线x二a的抛物线而函数f(x)的图像是将函数f (x)在x轴上方的图像保持不变、把它在x轴下方的图像翻折上去得到的(I)当 b =0时，函数f(x) = x2-2ax = (x -a)2 -a2(i)若 a <0此时函数f(x)的对称轴x二a不在区间［0,1］上, f (x)在区间［0,1］上单调递增于是 M =[ f(x)]max 二maxi f(0) , f ⑴二 maxb,1 -2a 1 = 1-2a =2—13=1 - 2a = 2或 1 - 2a - -2，即 a (舍去 a -—)2 2(ii )若 a 1此时函数f(x)的对称轴x 二a 不在区间[0,1]上，f (x)在区间[0,1]上单调递减 于是 M 珂 f(x)]max =max f f(0) , f (1) .； =max 〈0,1 一2a ? = 1 — 2a =2 3 1=■ 1 - 2a = 2或 1 - 2a - -2，即 a (舍去 a --—)2 2 (iii )若 0ma^1此时函数f (x)的对称轴x 二a 在区间[0,1] 上, f (x)在区间l.0,a 1上单调递减，在 区间la,1 ]上单调递增于是 M =[ f(x)]max 二max' f (a), f (1) ； =max ?a 2,1-2a ； =2 当 a 2 =2 时，a- [0,1]，舍去一1 3当 1—2a| = 2时，1—2a=2或1—2a = —2 n a =——或a =—,均舍去2 2综上可知，a = 或a =~2 2f (1)=1-2a b1 b - f (1) 1 f (0) - f (1) 1 f (0) - f(1) ‘ ‘ — ------------ ------------------ -- - ‘于是有-仁f (0) - f ⑴叮f(1) <12=一1 乞 f (0)21 1-2"(1)诗丄 a =1匕—)1.12 2 2=1 2 2，即 a [0,1]例13、( 2015 浙江高考)已知函数 f (x^x2 ax b ( a，b R)，记M (a,b)是f(x)在区间[_1,1】上的最大值•(1)证明：当 a 32时，M (a,b)启2 ；(2)当a , b满足M (a,b) <2时，求a b的最大值.【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题.解决此类问题的关键是正确理解“ M(a,b)是f(x)在区间[-1,1】上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。