17
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
六、威布尔分布
W (m, γ ,η )
威布尔分布主要用于工程中的寿命问题。 威布尔分布主要用于工程中的寿命问题。 寿命问题
概率密度函数 分布函数
m t −γ f (t ) = η η

m −1
t −γ exp − η
2
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
二 、泊松分布
二项分布中 很小， 很大 很大， 在二项分布中，当p很小，n很大，而np = µ 为常 很小 数时，则该二项分布接近一个极限， 数时，则该二项分布接近一个极限，这个极限就称 泊松分布。它是一种离散型分布。 为泊松分布。它是一种离散型分布。 在n次试验中，X发生θ次的概率为 次试验中， 发生θ
威布尔分布的参数 1、形状参数 m －决定威布尔分布密度函数曲线的形状。 决定威布尔分布密度函数曲线的形状。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、尺度参数η –改变曲线的纵、横坐标的标尺，函 改变曲线的纵、横坐标的标尺，
数曲线的形状随之变化。 数曲线的形状随之变化。
20
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
σ
15
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
对数正态分布的寿命特征
平均寿命
E (T ) = e
1 (µ + σ 2 ) 2
寿命方差
D(T ) = e
TR = e
2 µ +σ 2
(e
σ2
−1
)
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可靠寿命
[ µ +σΦ −1 (1− R )]
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例6(教材例3-3)：已知某零件的寿命服从对数 6(教材例 3)： 教材例3 正态分布，随机抽取5个零件进行了试验， 正态分布，随机抽取5个零件进行了试验，测得其 寿命为93，79，83，87，92h。试计算： 寿命为93，79，83，87，92h。试计算： 1）对数正态分布数学期望及方差； 对数正态分布数学期望及方差； 2）可靠度为95%的可靠寿命； 可靠度为95%的可靠寿命 的可靠寿命； 3）要求工作80h的可靠度。 要求工作80h的可靠度 的可靠度。
1
t
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第三章 可靠性常用分布函数
标准正态分布故障密度函数
的正态分布称为标准正态分布 µ = 0 , σ = 1 的正态分布称为标准正态分布
1 ϕ (t ) = e 2π
t2 − 2
正态分布标准化
设z = t−µ
1 e (标准正态变量) ϕ ( z ) = σ f (t ) = σ 2π ϕ (− z ) = ϕ ( z )
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
对数正态分布的可靠性函数
不可靠度函数
ln t − µ F (t ) = Φ σ
ln t − µ R(t ) = 1 − Φ σ
ϕ(
ln t − µ )(tσ ) −1
可靠度函数
故障率函数
f (t ) σ = λ (t ) = ln t − µ R (t ) 1 − Φ( )
t −γ R (t ) = 1 − F (t ) = exp − η

m −1

m

f (t ) m t − γ = λ (t ) = 故障率函数: 故障率函数: (t ) η η R
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第三章 可靠性常用分布函数
µθ −µ P {X = θ } = e θ!
系统成功的概率
µθ −µ ∑0 P { X = θ } = θ∑0 θ ! e = 1 = θ=
∞ ∞
E( X ) = µ 泊松分布的数学期望和方差为 D( X ) = µ
µ −µ P( X ≤ θ ) = ∑ e 0 θ!
θ θ
3
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2
∫
∞
t
e
1 t −µ − 2 σ
2
dt
标准正态分布故障率函数
f (t ) ϕ ( z )σ −1 σ λ (t ) = = = R(t ) 1 − Φ ( z ) 1 − Φ ( t − µ )
ϕ(
t−µ
)σ −1
σ
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
5、正态分布的寿命特征
平均寿命 寿命方差
E( X ) = µ
D( X ) = σ 2
可靠寿命
TR = µ + σΦ (1 − R )
−1
中位寿命
T (0.5) = µ
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例4（教材例3-2）：从一批弹簧中，取出8件 教材例3 ）：从一批弹簧中 取出8 从一批弹簧中， 在同一应力水平下进行疲劳试验。 在同一应力水平下进行疲劳试验。若已知失效时 间服从正态分布，其均值为302千周，均方差为68 间服从正态分布，其均值为302千周，均方差为68 千周 千周。按要求寿命大于250千周为合格 千周为合格， 250千 千周。按要求寿命大于250千周为合格，在250千 周以下为不合格，求合格品的概率。 周以下为不合格，求合格品的概率。
系统成功的概率
θ P( X = θ ) = Cn pθ qn−θ (θ = 0,1,L, n)
∑P( X = θ ) = θ∑C p q θ
θ
=0
∞
∞
θ n−θ
P( X ≤ θ ) = ∑Cn p q
θ
0
θ
=0
n
=1
θ n−θ
二项分布的数学期望和方差为
E ( X ) = np D( X ) = npq
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
重点： 重点：
几个重要的分布的可靠性函数、 几个重要的分布的可靠性函数、寿命特 征： 正态分布 对数正态分布 指数分布 威布尔分布
1
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第三章 可靠性常用分布函数
一、二项分布
在一次试验中只能出现两种结果之一的情况， 在一次试验中只能出现两种结果之一的情况， 它是一种离散型分布。 它是一种离散型分布。 成功和失败 设试验只能出现成功 失败 成功 失败两种结果： 成功A 概率为q 失败 B 概率为p=1-q 在n次试验中， 次试验中， X发生θ次的概 发生θ 率为
三、指数分布 e(λ )
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。 运转期间的寿命。
密度函数 f ( t ) = λ e − λ t 不可靠度函数 F (t ) = 1 − e − λt 可靠度函数 R (t ) = e − λt 失效率函数 λ (t ) = f (t ) / R (t ) = λ 平均寿命
E (T ) = µ =
D (T ) = σ 2 =
1
λ
1
可靠寿命 TR = 1 ln 1
λ
R
寿命方差
λ2
特征寿命 T (e −1 ) =
1
λ
4
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例1（教材例3-1）：设某元件在偶然失效阶段寿 教材例3 ）：设某元件在偶然失效阶段寿 命服从指数分布,且已知数学期望为10000h。 命服从指数分布,且已知数学期望为10000h。求： 1、寿命为15000h的可靠度； 寿命为15000h的可靠度 的可靠度； 2、寿命为9000-11000h的概率。 寿命为9000-11000h的概率 的概率。
m −1
可靠度函数 故障率函数
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
威布尔分布的寿命特征
两参数 平均寿命 寿命方差
例5：已知某产品的寿命服从正态分布, 已知某产品的寿命服从正态分布,
X
寿命以循环次数计。 N (20000, 20002 ) 寿命以循环次数计。求该产品
在19000次循环时的 R(t ), λ (t )和t0.8 。 19000次循环时的
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
五、对数正态分布 LN ( µ , σ 2 )
1 ln t − µ t 2π 2 σ
t
1
对数正态分布标准化
F (t ) = 1 2π
设z =
ln t − µ
σ
∫
ln t − µ
σ
0
1 2 ln x − µ exp − z dz = Φ = Φ (z) 2 σ
t m F (t ) = 1 − exp − η
t m R ( t ) = 1 − F ( t ) = exp − η
f (t ) m t λ (t ) = = R (t ) η η
1 Φ( z) = Φ( )= σ 2π
t −µ
∫
z
−∞
e dz = F (t )
z2 − 2
Φ(− z ) = 1 − Φ( z )
Φ ( z ) 值可查正态分布表
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
3、正态分布可靠度函数
1 R(t ) = σ 2π
∫
∞
t
e
1 t −µ − 2 σ
z2 − 2
ϕ ( z ) 值可查正态分布密度函数数值表
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、正态分布不可靠度函数