专题四 电磁感应综合问题电磁感应综合问题，涉及力学知识（如牛顿运动定律、功、动能定理、动量和能量守恒定律等）、电学知识（如电磁感应定律、楞次定律、直流电路知识、磁场知识等）等多个知识点，其具体应用可分为以下两个方面：（1）受力情况、运动情况的动态分析。

思考方向是：导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，周而复始，循环结束时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态。

要画好受力图，抓住 a =0时，速度v 达最大值的特点。

（2）功能分析，电磁感应过程往往涉及多种能量形势的转化。

例如：如图所示中的金属棒ab 沿导轨由静止下滑时，重力势能减小，一部分用来克服安培力做功转化为感应电流的电能，最终在R 上转转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能．若导轨足够长，棒最终达到稳定状态为匀速运动时，重力势能用来克服安培力做功转化为感应电流的电能，因此，从功和能的观点人手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径．【例1】 如图1所示，矩形裸导线框长边的长度为2l ，短边的长度为l ，在两个短边上均接有电阻R ，其余部分电阻不计，导线框一长边与x 轴重合，左边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的感应强度满足关系)sin(l xB B 20π=。

一光滑导体棒AB 与短边平行且与长边接触良好，电阻也是R ，开始时导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB 在沿x 方向的力F 作用下做速度为v 的匀速运动，求：（1）导体棒AB 从x=0到x=2l 的过程中力F 随时间t 变化的规律；（2）导体棒AB 从x=0到x=2l 的过程中回路产生的热量。

答案：（1）)()(sin vl t R l vtv l B F 203222220≤≤=π （2）Rv l B Q 32320= 【例2】 如图2所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，它们之间的距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R=0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B=0.5T 。

一质量为m=01kg 的金属杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下作匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s 2，方向与初速度方向相反，设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。

求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系。

答案：（1）m av x 1220== （2）向运动时=0.18N 向左运动时=0.22N (3)当;x 010220轴相反方向与时,,/>=<F s m lB maR v 当;x 010220轴相同方向与时,,/<=>F s m l B maR v 【例3】 如图5所示，在水平面上有一个固定的两根光滑金属杆制成的37°角的导轨AO 和BO ，在导轨上放置一根和OB 垂直的金属杆CD ，导轨和金属杆是用同种材料制成的，单位长度的电阻值均为0.1Ω/m ，整个装置位于垂直红面向里的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度随时间的变化关系为B=0.2tT ，现给棒CD 一个水平向右的外力，使CD棒从t=0时刻从O 点处开始向右做匀加速直线运动，运动中CD 棒始终垂直于OB ，加速度大小为0.1m/s 2,求（1）t=4s 时，回路中的电流大小；（2）t=4s 时，CD 棒上安培力的功率是多少？答案：（1）1A （2）0.192W 。

【例4】如图6所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN 、PQ 电阻不计，固定在同一水平面上，两导轨相距m 40.=l ，导轨的两个端M 与P 处用导线连接一个R=0.4Ω的电阻。

理想电压表并联在R 两端，导轨上停放一质量m=01kg 、电阻r=0.1Ω的金属杆，整个装置处于磁感应强度B=0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下，现用一水平向右的恒定外力F=1.0N 拉杆，使之由静止开始运动，由电压表读数U 随时间t 变化关系的图象可能的是：【例5】如图8所示，两根相距为d 的足够长的光滑平行金属导轨位于竖直的xOy 平面内，导轨与竖直轴yO 平行，其一端接有阻值为R 的电阻。

在y>0的一侧整个平面内存在着与xOy 平面垂直的非均匀磁场，磁感应强度B 随y 的增大而增大，B=ky ，式中的k 是一常量。

一质量为m 的金属直杆MN 与金属导轨垂直，可在导轨上滑动，当t=0时金属杆MN 位于y=0处，速度为v 0，方向沿y 轴的正方向。

在MN 向上运动的过程中，有一平行于y 轴的拉力F 人选用于金属杆MN 上，以保持其加速度方向竖直向下，大小为重力加速度g 。

设除电阻R 外，所有其他电阻都可以忽略。

问：（1）当金属杆的速度大小为20v 时，回路中的感应电动势多大？ （2）金属杆在向上运动的过程中拉力F 与时间t 的关系如何？答案：（1）g d kv E 163301= （2）)()(gv R gt t v k F 02202t 21≤-=式中 【例6】（2004北京理综）如图所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L ，M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻。

一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直。

整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略。

让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。

（1）由b 向a 方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；（2）在加速下滑过程中，当ab 杆的速度大小为v 时，求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小；（3）求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值。

解析：（18分）（1）如图所示：重力mg ，竖直向下；支撑力N ，垂直斜面向上；安培力F ，沿斜面向上（2）当ab 杆速度为v 时，感应电动势E =BLv ，此时电路电流 RBLv R E I ==ab 杆受到安培力Rv L B BIL F 22== 根据牛顿运动定律，有Rv L B mg F mg ma 22sin sin -=-=θθ 解得 mR v L B g a 22sin -=θ （3）当θsin 22m g Rv L B =时，ab 杆达到最大速度v m 22sin L B mgR v m θ= 【例7】（2004上海）水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，问距为L ，一端通过导线与阻值为R 的电阻连接；导轨上放一质量为m 的金属杆（见右上图），金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下。

用与导轨平行的恒定拉力F 作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。

当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v 也会变化，v 与F 的关系如右下图。

（取重力加速度g =10m/s 2）（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？（2）若m =0.5kg ，L =0.5m ，R =0.5Ω；磁感应强度B 为多大？（3）由v —F 图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？解析：（1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动，加速运动）。

（2）感应电动势vBL =ε ① 感应电流R I ε= ② 安培力RL vB IBL F M 22== ③ 由图线可知金属杆受拉力、安增力和阻力作用，匀速时合力为零。

f RL vB F +=22 ④ )(22f F L B R v -=∴⑤由图线可以得到直线的斜率k=2，12==∴kL R B （T ） ⑥ （3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f ，f =2（N ） ⑦若金属杆受到的阻力仅为动摩擦力，由截距可求得动摩擦因数4.0=μ ⑧【例8】如图所示，两根相距为L 的足够长的平行金属导轨，位于水平的xy 平面内，一端接有阻值为R 的电阻。

在0>x 的一侧存在沿竖直方向的均匀磁场，磁感应强度B 随x 的增大而增大，B=kx ，式中的k 是一常量。

一金属杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动。

当t=0时金属杆位于x =0处，速度为0v ，方向沿x 轴的正方向。

在运动过程中，有一大小可调节的外力F 作用于金属杆以保持金属杆的加速度恒定，大小为a ，方向沿x 轴正方向。

除电阻R 以外其余电阻都可以忽略不计。

求：（1）当金属杆的速度大小为v 时，回路中的感应电动势有多大？（2）若金属杆的质量为m ，施加于金属杆上的外力与时间的关系如何？解析： （1）根据速度和位移的关系式ax v v 2202=- α2202v v x -=由题意可知，磁感应强度为 α2)(202v v k kx B -== 感应电动势为 α2)(202L v v v B L v E -==（2）金属杆在运动过程中，安培力方向向左，因此，外力方向向右。

由牛顿第二定律得 F －BIL=maR所以ma RF +=200 【例9】如图所示，abcd 为质量M=2kg 的导轨，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量m=0.6kg 的金属棒PQ 平行bc 放在水平导轨上，PQ 棒左边靠着绝缘固定的竖直立柱e 、f ，导轨处于匀强磁场中，磁场以OO ′为界，左侧的磁场方向竖直向上，右侧的磁场方向水平向右，磁感应强度均为B=0.8T.导轨的bc 段长m l 5.0=，其电阻Ω=4.0r ，金属棒的电阻R=0.2Ω，其余电阻均可不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数.2.0=μ 若在导轨上作用一个方向向左、大小为F=2N 的水平拉力，设导轨足够长，g 取10m/s 2，试求：（1）导轨运动的最大加速度；（2）流过导轨的最大电流；（3）拉力F 的最大功率.解析：（1）导轨向左运动时，导轨受到向左的拉力F ，向右的安培力F 1和向右的摩擦力f 。

根据牛顿第二定律：Ma f F F =--1F 1=BI l (1分)f =μ(mg —BI l )M BIl mg F a )1(:μμ---=整理得 当I=0时，即刚拉动时，a 最大. 2max /4.0s m M mg F a =-=μ （2）随着导轨速度增大，感应电流增大，加速度减小.当a =0时，I 最大 即0)1(max =---l BI mg F μμA Blmg F I 5.2)1(max =--=μμ （3）当a =0时，I 最大，导轨速度最大.r R Blv I +=max max s m Blr R I v /75.3)(max max =+=W v F P 5.7m a x m a x =⋅=∴ O`【例10】相距为L 的足够长光滑平行金属导轨水平放置，处于磁感应强度为B ，方向竖直向上的匀强磁场中。