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湖北襄阳市第五中学高考数学等比数列专题复习(专题训练)百度文库

一、等比数列选择题1.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”.注:“倍加增”意为“从塔顶到塔底,相比于上一层,每一层灯的盏数成倍增加”,则该塔正中间一层的灯的盏数为( )A .3B .12C .24D .482.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,公比为q ,11a >,676712a a a a +>+>,记{}n a 的前n 项积为nT,则下列选项错误的是( ) A .01q << B .61a > C .121T > D .131T > 3.设{a n }是等比数列,若a 1 + a 2 + a 3 =1,a 2 + a 3 + a 4 =2,则 a 6 + a 7 + a 8 =( )A .6B .16C .32D .644.已知数列{}n a 中,其前n 项和为n S ,且满足2n n S a =-,数列{}2n a 的前n 项和为n T ,若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立,则实数λ的取值范围是( )A .()3,+∞B .()1,3-C .93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D .91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知数列{}n a 满足:11a =,*1()2nn n a a n N a +=∈+.则 10a =( ) A .11021B .11022 C .11023D .110246.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=,下列命题中错误的是( ) A .1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .13nS n = C .13(1)n a n n =--D .{}3n S 是等比数列7.在等比数列{}n a 中,132a =,44a =.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T ( )A .有最大项,有最小项B .有最大项,无最小项C .无最大项,有最小项D .无最大项,无最小项8.在等比数列{}n a 中,11a =,427a =,则352a a +=( ) A .45B .54C .99D .819.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,若2415S S ==,,则7S =( ). A .710S =B .723S =C .7623S =D .71273S =10.已知等比数列{a n }中a 1010=2,若数列{b n }满足b 1=14,且a n =1n n b b +,则b 2020=( )A .22017B .22018C .22019D .2202011.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项m a ,n a14a =,则14m n+的最小值为( ) A .53B .32C .43D .11612.已知等比数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,且5312a a a +=,则42S S =( ) A .76B .32C .2132D .1413.在流行病学中,基本传染数R 0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人,为第一轮传染,这R 0个人中每人再传染R 0个人,为第二轮传染,…….R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =,平均感染周期为7天,设某一轮新增加的感染人数为M ,则当M >1000时需要的天数至少为( )参考数据:lg38≈1.58 A .34B .35C .36D .3714.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,226598225a a a a ++=,则113a a 的最大值是( ) A .25B .254C .5D .2515.十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段12(,)33,记为第一次操作;再将剩下的两个区间1[0,]3,2[,1]3分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910,则需要操作的次数n 的最小值为( )(参考数据:lg 20.3010=,lg30.4771=)A .4B .5C .6D .716.已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则该数列的公比是( )A .19B .9C .13D .317.已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =,公比2q ,则5S 等于( )A .32B .31C .16D .1518.正项等比数列{}n a 的公比是13,且241a a =,则其前3项的和3S =( ) A .14B .13C .12D .1119.在等比数列{}n a 中,12345634159,88a a a a a a a a +++++==-,则123456111111a a a a a a +++++=( ) A .35B .35C .53D .53-20.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 二、多选题21.题目文件丢失!22.已知数列{},{}n n a b 均为递增数列,{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈,则下列结论正确的是( )A .101a <<B.11b <<C .22n n S T <D .22n n S T ≥23.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,4n n b a =+,若数列{}n b 有连续4项在集合{-50,-20,22,40,85}中,则公比q 的值可以是( ) A .34-B .23-C .43-D .32-24.设{}n a 是无穷数列,1n n n A a a +=+,()1,2,n =,则下面给出的四个判断中,正确的有( )A .若{}n a 是等差数列,则{}n A 是等差数列B .若{}n A 是等差数列,则{}n a 是等差数列C .若{}n a 是等比数列,则{}n A 是等比数列D .若{}n A 是等差数列,则{}2n a 都是等差数列 25.关于递增等比数列{}n a ,下列说法不正确的是( )A .当101a q >⎧⎨>⎩B .10a >C .1q >D .11nn a a +< 26.已知等比数列{}n a 的公比0q <,等差数列{}n b 的首项10b >,若99a b >,且1010a b >,则下列结论一定正确的是( )A .9100a a <B .910a a >C .100b >D .910b b >27.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=,下列命题中正确的是( ) A .1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .13n S n=C .13(1)n a n n =--D .{}3n S 是等比数列28.在公比为q 等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若521127,==a a a ,则下列说法正确的是( ) A .3q = B .数列{}2n S +是等比数列 C .5121S =D .()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥29.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T30.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,()*12n n a S n N +=∈,则有( ) A .13n n S -=B .{}n S 为等比数列C .123n n a -=⋅D .21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩31.设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则( ) A .12a =B .221n a n =- C .21n nS n =+ D .1n n S na +=32.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,781a a >,87101a a -<-.则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .791a a <C .n T 的最大值为7TD .n S 的最大值为7S33.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k ,使得对任意n +∈N ,均有n k n a a +>,则称{}n a 是间隔递增数列,k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是( )A .公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B .已知4n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列 C .已知()21nn a n =+-,则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D .已知22020n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则45t ≤<34.已知正项等比数列{}n a 满足12a =,4232a a a =+,若设其公比为q ,前n 项和为n S ,则( )A .2qB .2nn a = C .102047S = D .12n n n a a a +++<35.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若 1418a a +=, 2312a a +=,则下列说法正确的是( )A .2qB .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.C 【分析】题意说明从塔顶到塔底,每层的灯盏数构成公比为2的等比数列,设塔顶灯盏数为1a ,由系数前n 项和公式求得1a ,再由通项公式计算出中间项. 【详解】根据题意,可知从塔顶到塔底,每层的灯盏数构成公比为2的等比数列,设塔顶灯盏数为1a ,则有()7171238112a S ⋅-==-,解得13a =,中间层灯盏数34124a a q ==,故选:C. 2.D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数,11a >,676712a a a a +>+>,可得67(1)(1)0a a --<,因此61a >,71a <,01q <<.进而判断出结论. 【详解】 解:等比数列{}n a 的各项均为正数,11a >,676712a a a a +>+>,67(1)(1)0a a ∴--<,11a >,若61a <,则一定有71a <,不符合由题意得61a >,71a <,01q ∴<<,故A 、B 正确. 6712a a +>,671a a ∴>,6121231267()1T a a a a a a =⋯=>,故C 正确,131371T a =<,故D 错误,∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12.故选:D . 3.C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ,再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则234123()2a a a a a a q ++=++=,又1231a a a ++=,所以2q,所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选:C . 4.D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,得到数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列,进而得到{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列,利用等比数列前n 项和公式得到n S ,n T ,将2(1)0nn n S T λ-->恒成立,转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立,再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时,112S a =-,得11a =;当2n ≥时,由2n n S a =-, 得112n n S a --=-,两式相减得112n n a a -=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=, 所以22114n n a a -=.又211a =,所以{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列, 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-,11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-, 由2(1)0n n n S T λ-->,得214141(1)10234n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以221131(1)1022n nn λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以211131(1)110222n n n nλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈,所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭,所以1131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立,当n 为偶数时,()()321210nnλ--+>,所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++, 令6321n n b =-+,则数列{}n b 是递增数列,所以22693215λb <=-=+;当n 为奇数时,()()321210nnλ-++>,所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++,所以16332121λb -<=-=-=+, 所以1λ>-.综上,实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选:D. 【点睛】方法点睛:数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,往往转化为函数的最值问题. 5.C 【分析】根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ,构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,求解出通项,进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+,所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+,则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭, 所以121n n a =-,故101011211023a ==-. 故选:C 【点睛】方法点睛:对于形如()11n n a pa q p +=+≠型,通常可构造等比数列{}n a x +(其中1qx p =-)来进行求解. 6.C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系,得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,可判断A ,求出n S 后,可判断B ,由1a 的值可判断C ,求出3n S 后可判断D . 【详解】2n ≥时,因为130n n n a S S -+=,所以1130n n n n S S S S ---+=,所以1113n n S S --=, 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,A 正确; 1113S a ==,113S =,公差3d =,所以133(1)3n n n S =+-=,所以13n S n =,B 正确; 113a =不适合13(1)n a n n =--,C 错误;1313n n S +=,数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,D 正确. 故选:C . 【点睛】易错点睛:本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式,考查等差数列与等比数列的判断,在公式1n n n a S S -=-中2n ≥,不包含1a ,因此由n S 求出的n a 不包含1a ,需要特别求解检验,否则易出错. 7.B 【分析】首先求得数列的通项公式,再运用等差数列的求和公式求得n T ,根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ,则等比数列的公比414141328a q a -===,所以12q =, 则其通项公式为:116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭,所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a a a ---==⨯==,令()11t n n =-,所以当5n =或6时,t 有最大值,无最小值,所以n T 有最大项,无最小项. 故选:B. . 8.C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质,列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ,因为341a a q =,所以3q =,所以24352299a a q q +=+=.故选C9.D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组,求出首项和公比,由此能求出这个数列的前7项和. 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,21S =,45S =,∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩,解得113a =,2q ,771(12)1273123S -∴==-.故选:D . 10.A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ,再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=,所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=, 因为数列{}n a 为等比数列,且10102a =, 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =,又114b =,所以201720202b =, 故选:A. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.11.B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >,由7652a a a =+,可得22q q =+,解得2q,根据存在两项m a 、n a14a =14a =,6m n +=.对m ,n 分类讨论即可得出. 【详解】解:设正项等比数列{}n a 的公比为0q >, 满足:7652a a a =+,22q q ∴=+,解得2q,存在两项m a 、n a14a =,∴14a =,6m n ∴+=,m ,n 的取值分别为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),则14m n+的最小值为143242+=.故选:B . 12.B 【分析】由5312a a a +=,解得q ,然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中,5312a a a +=, 所以421112a q a q a +=,即42210q q +-=, 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---, 故选:B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算,属于基础题, 13.D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ,根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式,根据题意列出关于n 的不等式,求解出结果,从而可确定出所需要的天数.【详解】设第n 轮感染人数为n a ,则数列{}n a 为等比数列,其中1 3.8a =,公比为0 3.8R =,所以 3.81000nn a =>,解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-, 而每轮感染周期为7天,所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键点有两个:(1)理解题意构造合适的等比数列;(2)对数的计算. 14.B 【分析】由等比数列的性质,求得685a a +=,再结合基本不等式,即可求得113a a 的最大值,得到答案. 【详解】由等比数列的性质,可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=,又因为0n a >,所以685a a +=,所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭, 当且仅当6852a a ==时取等号. 故选:B . 15.C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和,这个和构成一个等比数列,再求其前n 项和,列出不等式解之可得. 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13;第二次操作去掉两个长度为19的区间,长度和为29;第三次操作去掉四个长度为127的区间,长度和为427;…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间,长度和为123n n -,于是进行了n 次操作后,所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭,由题意,902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,即21lg lg1031n ≤=-,即()lg3lg21n -≥,解得:115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--,又n 为整数,所以n 的最小值为6. 故选:C . 【点睛】本题以数学文化为背景,考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力,属于中档题. 16.D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ,利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ,等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则31327a ==,42381a ==,213a q a ∴==, 故选:D 17.B 【分析】先求得首项,根据等比数列的求和公式,代入首项和公比的值,即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =,公比2q,所以211a a q==,又因为1111nna q S qq,所以()551123112S -==-.故选:B. 18.B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ,从而求出1a ,最后根据公式求出3S ; 【详解】解:因为正项等比数列{}n a 满足241a a =,由于2243a a a =,所以231a =. 所以31a =,211a q ∴=,因为13q =,所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选:B 19.D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==,而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++, ∵等比数列{}n a 中3498a a =-,而162534a a a a a a ==, ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-, 故选:D 20.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力.二、多选题 21.无22.ABC【分析】利用数列单调性及题干条件,可求出11,a b 范围;求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式,利用数学归纳法即可证明其大小关系,即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列, 所以123a a a <<,所以11222a a a <+=,即11a <, 又22324a a a <+=,即2122a a =-<, 所以10a >,即101a <<,故A 正确; 因为{}n b 为递增数列, 所以123b b b <<,所以21122b b b <=,即1b < 又22234b b b <=,即2122b b =<, 所以11b >,即11b <<,故B 正确;{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==,因为12n n n b b +⋅=,则1122n n n b b +++⋅=,所以22n n b b +=,则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-,当n =1时,222,S T =>,所以22T S >,故D 错误; 当2n ≥时假设当n=k时,21)2k k ->21)k k ->, 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈,都有21)2k k ->,即22n n T S >,故C 正确 故选:ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用,数列前n 项和的求法,解题的关键在于,根据数列的单调性,得到项之间的大小关系,再结合题干条件,即可求出范围,比较前2n 项和大小时,需灵活应用等差等比求和公式及性质,结合基本不等式进行分析,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题. 23.BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-,24-,18,36,81}中,再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合{-50,-20,22,40,85}中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-,24-,18,36,81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列,∴在集合{54-,24-,18,36,81}中,数列{}n a 的连续四项只能是:24-,36,54-,81或81,54-,36,24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选:BD 24.AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ;利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,设公差为d ,则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-, 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦, 所以{}n A 是等差数列,故A 正确; 对于B ,若{}n A 是等差数列,设公差为d ,()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+,即数列{}n a 的偶数项成等差数列,奇数项成等差数列,故B 不正确,D 正确. 对于C ,若{}n a 是等比数列,设公比为q , 当1q ≠-时, 则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==, 当1q =-时,则10n n n A a a ++==,故{}n A 不是等比数列,故C 不正确; 故选:AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义,属于基础题.25.BCD 【分析】利用等比数列单调性的定义,通过对首项1a ,公比q 不同情况的讨论即可求得答案. 【详解】A ,当101a q >⎧⎨>⎩时,从第二项起,数列的每一项都大于前一项,所以数列{}n a 递增,正确;B ,当10a > ,0q <时,{}n a 为摆动数列,故错误;C ,当10a <,1q >时,数列{}n a 为递减数列,故错误;D ,若10a >,11nn a a +<且取负数时,则{}n a 为 摆动数列,故错误, 故选:BCD . 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断,意在考查对基础知识的掌握情况,属基础题. 26.AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ,因为0q <,所以29109990a a a a q a q =⋅=<,故A 正确; 对选项B ,因为9100a a <,所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩,即910a a >或910a a <,故B 错误; 对选项C ,D ,因为910,a a 异号,99a b >,且1010a b >,所以910,b b 中至少有一个负数, 又因为10b >,所以0d <,910b b >,故C 错误,D 正确. 故选:AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用,考查学生分析问题的能力,属于中档题. 27.ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式,可得{}n S 的递推式,变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,从而可求得n S ,利用n S 求出n a ,并确定3n S 的表达式,判断D . 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥,1130n n n n S S S S ---+=,所以1113n n S S --=, 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,A 正确;公差为3,又11113S a ==,所以133(1)3n n n S =+-=,13n S n=.B 正确;2n ≥时,由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-,但13a =不适合此表达式,因此C 错;由13n S n =得1311333n n n S +==⨯,∴{}3n S 是等比数列,D 正确.故选:ABD . 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式,考查等比数列的判断,解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥,化已知等式为{}n S 的递推关系,变形后根据定义证明等差数列.28.ACD 【分析】根据等比数列的通项公式,结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ,所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=,因此选项A 正确;因为131(31)132nn n S -==--,所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-, 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数, 所以数列{}2n S +不是等比数列,故选项B 不正确; 因为551(31)=1212S =-,所以选项C 正确; 11130n n n a a q --=⋅=>,因为当3n ≥时,22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=,所以选项D 正确. 故选:ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用,考查了等比数列前n 项和公式的应用,考查了等比数列定义的应用,考查了等比数列的性质应用,考查了对数的运算性质,考查了数学运算能力. 29.AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾.②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a q n N -=∈.30.ABD 【分析】根据,n n a S 的关系,求得n a ,结合等比数列的定义,以及已知条件,即可对每个选项进行逐一分析,即可判断选择. 【详解】由题意,数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈,当2n ≥时,12n n a S -=,两式相减,可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-, 可得13n n a a +=,即13,(2)n na a n +=≥, 又由11a =,当1n =时,211222a S a ===,所以212a a =, 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩;当2n ≥时,11123322n n n n a S --+⋅===,又由1n =时,111S a ==,适合上式,所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=;又由11333nn n n S S +-==,所以数列{}n S 为公比为3的等比数列, 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选:ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式,以及等比数列的证明和判断,属综合基础题. 31.ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ,进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得:12a =,令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=, 则当2n ≥时,1(21)2n n n T T n a --=-=,即221n a n =-,而122211a ==⨯-也成立, ∴221n a n =-,*n N ∈,故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+,∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++,即有1n n S na +=, 故选:ABD 【点睛】关键点点睛:由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ,注意验证1a 是否符合n a 通项,并由此得到{}21na n +的通项公式,利用裂项法求前n 项和n S . 32.ABC 【分析】由11a >,781a a >,87101a a -<-,可得71a >,81a <.由等比数列的定义即可判断A ;运用等比数列的性质可判断B ;由正数相乘,若乘以大于1的数变大,乘以小于1的数变小,可判断C; 因为71a >,801a <<,可以判断D. 【详解】11a >,781a a >,87101a a -<-, 71a ∴>,801a <<,∴A.01q <<,故正确;B.27981a a a =<,故正确; C.7T 是数列{}n T 中的最大项,故正确.D. 因为71a >,801a <<,n S 的最大值不是7S ,故不正确. 故选:ABC . 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 33.BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--,因为1q >,所以当10a <时,n k n a a +<,故错误; B. ()()244441++n k n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令24t n kn =+-,t 在n *∈N 单调递增,则()1140t k =+->,解得3k >,故正确;C. ()()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦,当n 为奇数时,()2110k k --+>,存在1k 成立,当n 为偶数时,()2110k k +-->,存在2k ≥成立,综上:{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2,故正确;D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->,n *∈N 成立,则()220k t k +->,对于3k ≥成立,且()220k t k +-≤,对于k 2≤成立 即()20k t +->,对于3k ≥成立,且()20k t +-≤,对于k 2≤成立 所以23t -<,且22t -≥解得45t ≤<,故正确.故选:BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义,还考查了运算求解的能力,属于中档题.34.ABD【分析】由条件可得32242q q q =+,解出q ,然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+,得220q q --=,解得2q (负值舍去),选项A 正确; 1222n n n a -=⨯=,选项B 正确;()12212221n n n S +⨯-==--,所以102046S =,选项C 错误;13n n n a a a ++=,而243n n n a a a +=>,选项D 正确.故选:ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算,考查的是学生对基础知识的掌握情况,属于基础题. 35.ABC【分析】由1418a a +=,2312a a +=,31118a a q +=,21112a q a q +=,公比q 为整数,解得1a ,q ,可得n a ,n S ,进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=,2312a a +=且公比q 为整数,∴31118a a q +=,21112a q a q +=, ∴12a =,2q 或12q =(舍去)故A 正确, ()12122212n n n S +-==--,∴8510S =,故C 正确;∴122n n S ++=,故数列{}2n S +是等比数列,故B 正确; 而lg lg 2lg 2n n a n ==,故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列,故D 错误.故选:ABC .【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用,属于中档题.。

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