1 T
t0 T t0
f (t)(cosn0t j sin n0t)dt
1 t0T 2 t0
f (t)e jn0tdt Fn
•
F(nω0)是复常数， 通常简写为Fn。
Fn还可以表示成模和幅角的形式
Fn Fn e jn
(3.1-12)
三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅， 但在指数形式中， Fn要与相对应的第-n项F-n合并， 构 成第n次谐波分量的振幅和相位。
n1

c0 cn cos(n0t n )
n1
• 两种三角形式系数
的关系为
a0 c0, cn
an2

bn2
,n

arctan bn an

sinn
bn an2 bn2
, cosn

an an2 bn2

an cn cosn , bn cn sinn
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点 (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
t0T f (t) dt
t0
可以展开为三角形式的傅立叶级数，为
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos20t b1 sin 0t b2 sin 20t
2．对称特性 （1）偶对称。若 f (t是) 关于纵轴对称的偶函数，即

j(Fn Fn ) j2 ImFn bn


• 例1的指数形式频谱图如下图所示。
1 12 4
Fn
c1
1
2 c2
2 c3
2
－0 －0 －0 0 0 0 0
(a)
π
n
2
π
π
4
4
－0
0
0
－0 －0 0
0

－
π 4
－
π 4
－
π 2
(b)

a0 (an cosn0t bn sin n0t) n1
式中,
a0

1 T
t0 TБайду номын сангаасt0
f (t)dt
an

2 T
t0 T t0
f (t) cosn0tdt
bn

2 T
t0 T t0
f (t)sin n0tdt
•
式中， ω0=2π/T是基波角频率，
有时也简称基波频率。 一般取t0=-T/2。


• 例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t

c
os(20t

5
4
)

2
s in 0t

1 2
sin
30t
解 将f(t)整理为标准形式
f
(t)

1

2
c
os
(0t


4
)

c
os
(20t

5
4
)
1 2
c
os(30t
)
2

1
•利用欧拉公式
c osn0

1 (e jn0 2
e jn0 )

sin n0
1
(e jn0
e jn0 )
j2

e jn0 cosn0 j sin n0
• 我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复
指数形式的傅里叶级数

f (t) c0 cn cos(n0t n )
第3章 连续信号与系统的频域分析
引言 周期信号的频谱——傅立叶级数 非周期信号的频谱——傅立叶变换 傅立叶变换的性质 傅立叶分析的应用举例 利用MATLAB进行系统的频域分析
引言
3.1 周期信号的频谱——傅立叶级数 3.1.1 三角函数式傅立叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利条件:


Fne jn0t
n
这样f(t)指数形式为


f (t)
F (n0 )e jn0t
Fe jn0t
n
n
• 其中系数
F
(n0 )

1 T
t0 T t0
f
(t)e j0tdt

1 2
cn
(c
os
n

j sinn )

1 2
(an

jbn )

2
c os (0t


4
)

cos(20t

5
4
)

1 2
cos(30t


2
)
振幅谱与相位谱如图3.1-1所示。
cn 2
1
11
2
π n
4
0
0
0
0

－
π 4
0 0 0 0

－π2
(a)
(b)
图 3.1-1 例3.1-1 (a) 振幅图； (b) 相位图
• 3.1.2 指数形式的傅里叶级数
n1

c0
n1
c e e n j(n0tn )
j(n0tn )
2

c0
n1
cn e e jn0t jn
2
n1
c e e n jn0t jn 2

c0
n1

c e e c e e n jn0t jn
• 指数形式与三角形式系数之间的关系为
F0 a0 c0

Fn

Fn
e jn

1 2
(an

jbn )
1 2
cn
e
j
n

Fn

1 2 (an

jbn )

1 2
cn
e

j
n

Fn

1 2
cn

Fn

n

arctan bn an

Fn Fn 2 ReFn an
•
•
利用三角函数的边角关系， 还可
以将一般三角形式化为标准的三角形式

f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1

a0
n1
an2 bn2

an an2 bn2
c os0t

bn an2
bn2

s in 0t


a0 cn (cosn cosn0t sinn sin n0t)
n jn0t jn
2
n1 2

c0
n1
cn e e jn0t jn 1 c e e n jn0t jn
2
n 2
• 令c0=F0代入上式， 并将两个和式合并得到

f (t)
n
cn 2
e e jn0t jn


n
F (n0 )e jn0t
例1 (a) 振幅图； (b) 相位图
3.1.3 傅立叶级数的存在性
傅立叶认为所有的周期信号都可以表示成正 弦信号或者复指数信号形式，但是这些周期信 号必须满足一定的条件。这个条件是：在一个 周期内，信号的变差是有界的。这一条件也就 是上文所述的狄里赫利条件。
3.1.4 傅里叶级数的性质
1. 线性性质